به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+5 امتیاز
191 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amir7788 (2,488 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

برای کدام مقادیر طبیعی n عددهای طبیعی متمایز a و b وجود دارند که در رابطه زیر صدق می کنند.

$$ \frac{1}{n} =\frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$

  • می دانیم که رابطه بالا در مجموعه اعداد طبیعی همواره دارای جواب است کافی است a=b=2n بگیرید.
  • برای n=1 نشان دادم تنها جواب طبیعی a=b=2 می باشد که متمایز نیست پس برای n=1 جواب ندارد.
  • برای n=2 نشان دادم که تنها جواب به صورت زیر است $$ \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} $$
  • اما در حالت کلی چگونه حل می شه؟ برای چه nهایی جواب دارد؟

2 پاسخ

+4 امتیاز
توسط Elyas1 (3,994 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

به نام خدا.

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{n} \Longrightarrow \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{n} \Longrightarrow n(a+b)=ab \Longrightarrow n^2-n(a+b)+ab=n^2 \Longrightarrow (a-n)(b-n)=n^2$

اگر $n$ عددی طبیعی باشد می توان $n^2$ را به شکل $n^2×1$ نوشت . پس برای هر عدد طبیعی به جز یک می توان $a,b$ ای یافت که متمایز اند.

$a-n=n^2 \Longrightarrow n^2+n=a$

$b-n=1 \Longrightarrow n+1=b$

معادله نسبت به $a,b$ متقارن است. یعنی با جابه جا کردن $a,b$ معادله تغییر نمی کند.

اگر $n=p$ که $p$ عددی اول است، آنگاه تنها یک جواب می توان آورد.

توسط amir7788 (2,488 امتیاز)
+2
کمی بیشتر ادامه می دادید عالی بود یعنی a و b بر حسب n معرفی می کردید
توسط Math.Al (1,396 امتیاز)
@amir7788
@Elyas1
اگر راه‌حل را ادامه می‌دادید، در نهایت مجموعه جواب‌های طبیعی در حالت کلی به‌صورت زیر به‌دست می‌آمد:
$(a,b,n)=(n^2+n,n+1,n)$
توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
+1
@Math.Al در پاسخ آقای @Elyas1 چیزی که نوشتید گفته شده است. چه چیز بیشتری در دیدگاهتان نسبت به این پاسخ ادامه داده‌اید؟
+4 امتیاز
توسط good4us (7,001 امتیاز)
ویرایش شده توسط good4us

علاوه بر $a=b=2n$ یکی دیگر از دسته های جواب این است که برای هر عدد طبیعی $n$ اگر یکی مانند $a$ را $n+1$ و دیگری یعنی $b$ را $n(n+1)$ بگیریم تساوی برقرار خواهد شد.

$ \bigoplus $$ \color{red}{\frac{1}{n}}=\color{blue}{\frac{1}{n+1}}+\color{green}{\frac{1}{n(n+1)}} $

مثال $n=4 و a=5و b=20$

$$ \frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20} $$
$$ \frac{1}{n}-\frac{1}{a}=\frac{1}{b} \Rightarrow b=\frac{na}{a-n} $$

در این حالت یکی از مواردی که بتوانیم $b$ را طبیعی ببینیم این است که برای شروع $a-n$ را یک بگیریم . به این ترتیب $\color{blue}{a=n+1}$ و $\color{green}{ b=n(n+1)} $ خواهند شد که اعداد طبیعی مطلوب خواهند بود .ضمنا در حالت کلی تر اگر $k$ یک عدد طبیعی دلخواه باشد میتوان $ \frac{1}{k} $ را درطرفین تساوی $ \bigoplus $ ضرب کنیم .به این ترتیب اگربه طورمثال $k=4$ درمثال بالا اعمال شود خواهیم داشت:

$$ \frac{1}{16}=\frac{1}{20}+\frac{1}{80} $$

ممکن است بتوانیم دسته های دیگری از جواب نیز پیدا کنیم.

توسط amir7788 (2,488 امتیاز)
بعنوان یک اتحاد قبول کنیم درسته. چطور می توان بدون توجه به آن بدست آورد؟
توسط good4us (7,001 امتیاز)
+1
@amir7788 با تکمیل پاسخ راه حل قانع کننده است؟
توسط amir7788 (2,488 امتیاز)
+1
حالا خیلی بهتر شد احسنت
توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
+2
@amir7788 صورت اولیه پاسخ هم کامل بود. تجزیه‌ای که آقای @good4us نوشته بودند خیلی ساده است و نیاز به اتحاد فرض کردن ندارد، با یک ساده‌سازی ذهنی چند ثانیه‌ای هم صحتش چک می‌شود. به هر حال در ویرایش جدید حالت‌های بیشتری را هم برایتان معرفی کردند.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...