به نام خدا.
$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{n} \Longrightarrow \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{n} \Longrightarrow n(a+b)=ab \Longrightarrow n^2-n(a+b)+ab=n^2 \Longrightarrow (a-n)(b-n)=n^2$
اگر $n$ عددی طبیعی باشد می توان $n^2$ را به شکل $n^2×1$ نوشت . پس برای هر عدد طبیعی به جز یک می توان $a,b$ ای یافت که متمایز اند.
$a-n=n^2 \Longrightarrow n^2+n=a$
$b-n=1 \Longrightarrow n+1=b$
معادله نسبت به $a,b$ متقارن است. یعنی با جابه جا کردن $a,b$ معادله تغییر نمی کند.
اگر $n=p$ که $p$ عددی اول است، آنگاه تنها یک جواب می توان آورد.
