برای کدام مقادیر طبیعی n عددهای طبیعی متمایز a و b وجود دارند که در رابطه $ \frac{1}{n} =\frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ صدق می کنند.

Question

برای کدام مقادیر طبیعی n عددهای طبیعی متمایز a و b وجود دارند که در رابطه زیر صدق می کنند.

$$ \frac{1}{n} =\frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$

• می دانیم که رابطه بالا در مجموعه اعداد طبیعی همواره دارای جواب است کافی است a=b=2n بگیرید.
• برای n=1 نشان دادم تنها جواب طبیعی a=b=2 می باشد که متمایز نیست پس برای n=1 جواب ندارد.
• برای n=2 نشان دادم که تنها جواب به صورت زیر است $$ \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} $$
• اما در حالت کلی چگونه حل می شه؟ برای چه nهایی جواب دارد؟

Answer 1

به نام خدا.

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{n} \Longrightarrow \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{n} \Longrightarrow n(a+b)=ab \Longrightarrow n^2-n(a+b)+ab=n^2 \Longrightarrow (a-n)(b-n)=n^2$

اگر $n$ عددی طبیعی باشد می توان $n^2$ را به شکل $n^2×1$ نوشت . پس برای هر عدد طبیعی به جز یک می توان $a,b$ ای یافت که متمایز اند.

$a-n=n^2 \Longrightarrow n^2+n=a$

$b-n=1 \Longrightarrow n+1=b$

معادله نسبت به $a,b$ متقارن است. یعنی با جابه جا کردن $a,b$ معادله تغییر نمی کند.

اگر $n=p$ که $p$ عددی اول است، آنگاه تنها یک جواب می توان آورد.

Comments

کمی بیشتر ادامه می دادید عالی بود یعنی a و b بر حسب n معرفی می کردید

---

@amir7788
@Elyas1
اگر راه‌حل را ادامه می‌دادید، در نهایت مجموعه جواب‌های طبیعی در حالت کلی به‌صورت زیر به‌دست می‌آمد:
$(a,b,n)=(n^2+n,n+1,n)$

---

@Math.Al در پاسخ آقای @Elyas1 چیزی که نوشتید گفته شده است. چه چیز بیشتری در دیدگاهتان نسبت به این پاسخ ادامه داده‌اید؟

Answer 2

علاوه بر $a=b=2n$ یکی دیگر از دسته های جواب این است که برای هر عدد طبیعی $n$ اگر یکی مانند $a$ را $n+1$ و دیگری یعنی $b$ را $n(n+1)$ بگیریم تساوی برقرار خواهد شد.

$ \bigoplus $$ \color{red}{\frac{1}{n}}=\color{blue}{\frac{1}{n+1}}+\color{green}{\frac{1}{n(n+1)}} $

مثال $n=4 و a=5و b=20$

$$ \frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20} $$

$$ \frac{1}{n}-\frac{1}{a}=\frac{1}{b} \Rightarrow b=\frac{na}{a-n} $$

در این حالت یکی از مواردی که بتوانیم $b$ را طبیعی ببینیم این است که برای شروع $a-n$ را یک بگیریم . به این ترتیب $\color{blue}{a=n+1}$ و $\color{green}{ b=n(n+1)} $ خواهند شد که اعداد طبیعی مطلوب خواهند بود .ضمنا در حالت کلی تر اگر $k$ یک عدد طبیعی دلخواه باشد میتوان $ \frac{1}{k} $ را درطرفین تساوی $ \bigoplus $ ضرب کنیم .به این ترتیب اگربه طورمثال $k=4$ درمثال بالا اعمال شود خواهیم داشت:

$$ \frac{1}{16}=\frac{1}{20}+\frac{1}{80} $$

ممکن است بتوانیم دسته های دیگری از جواب نیز پیدا کنیم.

Comments

بعنوان یک اتحاد قبول کنیم درسته. چطور می توان بدون توجه به آن بدست آورد؟

---

@amir7788 با تکمیل پاسخ راه حل قانع کننده است؟

---

حالا خیلی بهتر شد احسنت

---

@amir7788 صورت اولیه پاسخ هم کامل بود. تجزیه‌ای که آقای @good4us نوشته بودند خیلی ساده است و نیاز به اتحاد فرض کردن ندارد، با یک ساده‌سازی ذهنی چند ثانیه‌ای هم صحتش چک می‌شود. به هر حال در ویرایش جدید حالت‌های بیشتری را هم برایتان معرفی کردند.