تمام اعداد صحیح $n$ به ازای بعضی از $a,b$ صحیح که $ a+b \neq 0 $ عبارت $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{n}{a+b}$ برقرار باشد.

Question

تمام اعداد صحیح $n$ را بیابید به طوریکه به ازای بعضی از $a,b$ صحیح ناصفر که $ a+b \neq 0 $ عبارت زیر برقرار باشد.

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{n}{a+b}$$

Comments

@Soheil_pahlavani عنوان پرسش را بهتر بنویسید، با فقط دیدن این عبارت خواننده متوجه نمی‌شود که پرسش چه می‌خواهد. عنوان پرسش باید به طور خلاصه به خواننده برساند که در پرسش چه چیزی خواسته شده است.

Answer 1

باسلام.

$n,b,a\in\mathbb{Z} \Longrightarrow$

$\frac{1}{a} +\frac{1}{b}=\frac{n}{a+b} \Longrightarrow (a+b)^{2}=abn \Longrightarrow a^{2}+b^{2}+2ab = abn $

$ab \mid a^{2}+b^{2}+2ab\Longrightarrow ab \mid a^{2}+b^{2}$

فرض کنیم $d$ بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد $a$و $b$ باشد در نتیجه داریم :

$(a,b)=d \Longrightarrow a =da_{1} , b= db_{1} ,(a_{1},b_{1})=1$

$ab \mid a^{2}+b^{2} \Longrightarrow a_{1}b_{1} \mid a_{1}^{2}+b_{1}^{2}\Longrightarrow a_{1}\mid b_{1}^{2} \Longrightarrow a_{1} = b_{1}=1 \Longrightarrow a = \pm b,a+b \neq 0 \Longrightarrow a=b $

---

$ a^{2}+b^{2}+2ab = abn \Longrightarrow b^{2} +b^{2} + 2b^{2}=b^{2}n \Longrightarrow n=4$

Comments

@SN از $a^2+b^2+2ab\mid abn$ چگونه به $ab\mid a^2$ رسیدید؟ ممکن است $ab$ عبارت $a^2$ را نشمارد ولی عبارت $a^2+b^2$ را بشمارد. در این قسمت پرش دارید، یا باید این قسمت را توجیه کنید یا اثبات‌تان درست نیست و گام بعدی طور دیگر می‌شود.

---

@AmirHosein باسلام ، مرسی از تذکرتون ، اصلاح کردم .

---

@SN بسیار عالی ۱+

Answer 2

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{n}{a+b} , \begin{cases}n,a,b & \in\mathbb{Z} \\a,b & \neq 0 \\ a+b & \neq 0\end{cases} \\ (a+b)^{2} = abn \Longrightarrow b=ak \\ (a+ak)^2 = a^2kn \Longrightarrow (k+1)^2 = kn\\ k^2+2k+1 = kn \Longrightarrow 1=kl \Longrightarrow k=1,l=1\\ \Longrightarrow b=a \Longrightarrow (2a)^2 = a^2n \Longrightarrow \boxed{n = 4}$$

Answer 3

$$ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}=\frac{n}{a+b} $$ $$ \Rightarrow \frac{a+b}{a}+ \frac{a+b}{b}=n $$ $$ \Rightarrow \frac{b}{a}+ \frac{a}{b}+2=n $$ $$ \Rightarrow \frac{b}{a}+ \frac{a}{b}=n-2 $$

$$ \color{red}{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a=±b }$$

با توجه به اینکه $a \neq -b$؛ پس $a = b$. در نتیجه: $$ \Rightarrow \boxed{n=4} $$ توجه کنید که تنها مقدار قابل قبول برای عدد صحیح $n$، عدد صحیح ۴ است.

Comments

@Soheil_pahlavani نوشته‌های ریاضی را بادقت و درست بنویسید. از اینکه $a+b\neq 0$ نتیجه نمی‌شود که $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{n}{a+b}$ پس همین دو خط شروع پاسخ‌تان اشتباه است، به بقیهٔ متن نگاه نکردم.

---

سلام خدمت شما. پاسخشون رو ویرایش کردم.

---

@Dana_Sotoudeh خیلی خوب ولی ای کاش صبر می‌کردید تا مطمئن شوید نویسندهٔ پست متوجه مشکلِ معناییِ نوشته‌اش می‌شود یا خیر. نکتهٔ آمده در پاسخ نیز درست است ولی بهتر است برایش مرجع‌دهی شود یا اثباتش آورده‌شود یا دست‌کم بگویند فلان نکته برقرار است و اثباتش را به عنوان تمرین واگذار می‌کنیم و غیره تا خواننده فکر نکند بدون دلیل همینطوری گذاشته شده‌است، به‌ویژه امروزه که اکثر دانش‌آموزها مشکل درک مطلب دارند و می‌توانند فکر کنند که همینطوری می‌توانند از خطی به خط دیگر بروند و در نتیجه حتی نتیجه‌گیری‌های اشتباهی در پاسخ‌هایشان بنویسند.