به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
75 بازدید
در دبیرستان توسط SN (249 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

چنانچه $m,n\in\mathbb{N}$ و $a\in\mathbb{Z}$ باشند، $a,m,n$ چه اعدادی می‌توانند باشند تا در معادلهٔ $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{a^m}=1$ صدق کنند؟ اگر $a\in\mathbb{R}$ باشد چطور؟ در واقع به دنبالِ الگوی ساخت اعداد ممکن هستم.

برای مثال: \begin{align} 1 &= \frac {1}{2}+\frac {1}{2}\\ &= \frac {1}{(\pm\sqrt 2)^2}+\frac {1}{(\pm\sqrt 2)^2}\\ &= \frac {1}{( \sqrt[n] 2)^n}+\frac {1}{( \sqrt[n] 2)^n} \end{align}

آیا این کار فقط با پایهٔ 2 امکان‌پذیر است؟ اگر بله چطور می‌توان این موضوع را اثبات کرد؟ و اگر خیر چطور همهٔ اعداد ممکن را بیابیم؟

مرجع: تعمیمی از پرسش 13، صفحهٔ 69 -ِ کتاب تکمیلی ریاضی پایهٔ نهم، سال تحصیلی ۱۴۰۰-۱۴۰۱

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Elyas1 (4,142 امتیاز)
انتخاب شده توسط SN
 
بهترین پاسخ

به نام خدا.

در اینجا تساوی پیدا شد که من اثبات آن را اینجا نمی نویسم.

پس می دانیم که:

$(a^n-1)(a^m-1)=1$

توجه کنید که سمت چپ حاصل ضرب دو عدد صحیح است. پس حالاتی را باید بررسی‌ کنیم‌.

حالت اول: باید که $(a^n-1)=(a^m-1)=1$ باشد. پس:

$a^n-1=1 \Longrightarrow a^n=2$

پس باید $a=2$ و $n,m=1$ باشند.

حالت دوم: باید که

$(a^n-1)=(a^m-1)=-1$ باشد. پس :

$a^n-1=-1 \Longrightarrow a^n=0$

پس باید $a=0$ باشد. و $n,m$ می توانند هر عدد طبیعی باشند. اما توجه کنید که غیر قابل قبول است. زیرا مخرج را صفر می کند!

پس تنها حالت اول را می پذیرم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...