چه سه تایی های $m$ و $n$ و $a$ای (که دو عدد نخست طبیعی و آخری صحیح اند) می توانند در معادلهٔ $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{a^m}=1$ صدق کنند؟

Question

چنانچه $m,n\in\mathbb{N}$ و $a\in\mathbb{Z}$ باشند، $a,m,n$ چه اعدادی می‌توانند باشند تا در معادلهٔ $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{a^m}=1$ صدق کنند؟ اگر $a\in\mathbb{R}$ باشد چطور؟ در واقع به دنبالِ الگوی ساخت اعداد ممکن هستم.

برای مثال: \begin{align} 1 &= \frac {1}{2}+\frac {1}{2}\\ &= \frac {1}{(\pm\sqrt 2)^2}+\frac {1}{(\pm\sqrt 2)^2}\\ &= \frac {1}{( \sqrt[n] 2)^n}+\frac {1}{( \sqrt[n] 2)^n} \end{align}

آیا این کار فقط با پایهٔ 2 امکان‌پذیر است؟ اگر بله چطور می‌توان این موضوع را اثبات کرد؟ و اگر خیر چطور همهٔ اعداد ممکن را بیابیم؟

Answer 1

به نام خدا.

در اینجا تساوی پیدا شد که من اثبات آن را اینجا نمی نویسم.

پس می دانیم که:

$(a^n-1)(a^m-1)=1$

توجه کنید که سمت چپ حاصل ضرب دو عدد صحیح است. پس حالاتی را باید بررسی‌ کنیم‌.

حالت اول: باید که $(a^n-1)=(a^m-1)=1$ باشد. پس:

$a^n-1=1 \Longrightarrow a^n=2$

پس باید $a=2$ و $n,m=1$ باشند.

حالت دوم: باید که

$(a^n-1)=(a^m-1)=-1$ باشد. پس :

$a^n-1=-1 \Longrightarrow a^n=0$

پس باید $a=0$ باشد. و $n,m$ می توانند هر عدد طبیعی باشند. اما توجه کنید که غیر قابل قبول است. زیرا مخرج را صفر می کند!

پس تنها حالت اول را می پذیرم.