مجموعهٔ مقسوم علیه های عدد طبیعی $n$ای را $A$ بنامید. اگر تابع $f:A\to A$ در «$a\mid b\Rightarrow f(a)\mid f(b)$» صدق کند، $m$ای بیابید که $f(m)=m$.

Question

فرض کنید n عددی طبیعی است و A مجموعهٔ مقسوم علیه‌های طبیعی n است. اگر $f:A \longrightarrow A$ تابعی باشد که: اگر $a | b$ آنگاه $f \big(a\big) |f \big(b\big) $. ثابت کنید m ای وجود دارد وجود دارد که: $$f \big(m\big)=m $$

Comments

با این سوالتون از منبع خوبی است اما اشکال دارد.$A$ باید مجموعه مقسوم علیه های طبیعی $n$ باشد و گرنه می توان تابع $f$ را بدین شکل تعیین کرد که $f(a)=-a$ که همه ی مقسوم علیه ها را در بر می گیرد و همچنین $m$ وجود ندارد.با اجازتون سوال رو ویرایش می کنم.

Answer 1

لم۱:اگر $c \mid b$ انگاه $\vert{b}\vert \ge \vert{c}\vert$.

اثبات:چون $c \mid b$ عدد صحیحی مانند $a$ وجود دارد که $b=ac$ چون $b$ نامساوی صفر است پس $\vert{a}\vert \ge 1$.داریم:

$\vert{b}\vert=\vert{ac}\vert=\vert{a}\vert \vert{c}\vert \ge\vert{c}\vert$

$\Rightarrow \vert{b}\vert \ge \vert{c}\vert$

لم۲:تعداد مقسوم علیه های هر عدد متناهی است.

اثبات:اگر عدد $b$ را در نظر بگیریم با توجه به لم۱ متوجه می شویم که عدد $c$ تنها در صورتی مقسوم علیه ان است که $c \mid b$ که $\vert{b}\vert \ge \vert{c}\vert$که از این معادله نتیجه می شود:

$-b\ge c \ge b$

که چون صفر نمی تواند مقسوم علیه باشد این عدد حداکثر $2b$مقسوم علیه دارد که عددی متناهی است.

می دانیم که $f^n(x)$ یعنی اینکه عمل $f$،$n$ بار روی $x$انجام شده است.

دنباله زیر را در نظر بگیرید:

$1,f(1),f^2(1),f^3(1),\dots$

با استقرا نشان می دهیم که همه ی اعضا این مجموعه عضو مجموعه $A$(مجموعه مقسوم علیه های عدد $n$)هستند.گام های استقرایی:

۱.عدد۱ بر هر عددی بخش پذیر است پس عضو این مجموعه است.

۲.فرض می کنیم$f^n(1)$ عضو $A$ باشد.

۳.اثبات می کنیم $f^{n+1}(1)$ عضو $A$ می باشد.

$f^n (1) \in A \Rightarrow f(f^n(1)) \in A \Rightarrow f^{n+1}(1) \in A$

فرض کنید $a_i=f^i(1)$ با استفاده از استقرا ثابت می کنیم $a_k \mid a_{k+1}$.گام های استقرایی:

۱.عدد ۱ بر هر عددی بخشپذیر است پس بر $f(1)=a_1$ نیز بخشپذیر است.

۲.فرض می کنیم $a_{n-1} \mid a_n$.

۳.اثبات می کنیم $a_n \mid a_{n+1}$

$a_n \mid a_{n+1} \Rightarrow f^{n-1}(1) \mid f^n(1) \Rightarrow f(f^{n-1}(1)) \mid f(f^n(1)) \Rightarrow f^n(1) \mid f^{n+1}(1) \Rightarrow a_n \mid a_{n+1}$

نتیجه می گیریم:

$a_0 \mid a_1 \mid a_2 \mid a_3 \mid \dots$

طبق لم ۱ داریم:

$\vert{a_0}\vert \ge \vert{a_1}\vert \ge \vert{a_2}\vert \ge \vert{a_3}\vert \ge \dots$

چون همه مقسوم علیه ها مثبت هستند می توان نوشت:

$a_0 \ge a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \dots$

فرض می کنیم در بین $a_i$ ها علامت مساوی وجود نداشته باشد.انگاه طبق لم ۲ چون تعداد مقسوم علیه ها متناهی است پس به $n$ می رسیم و چون $n$ بزرگترین مقسوم علیه است دیگر نمی توانیم علامت کوچکتر داشته باشیم و باید علامت مساوی داشته باشیم که خلاف فرض است.پس حتما علامت مساوی بین $a_j$ و $a_{j+1}$ وجود دارد.

Answer 2

دنباله $(f^i(n))_{i=0}^\infty$ را در نظر بگیرید به راحتی به کمک استقرا می توان نشان داد $f^i(n)|f^{i-1}(n)$ لذا دنباله فوق، دنباله‌ای نزولی از اعداد طبیعی است پس حتما باید از مرحله ای به بعد ثابت باشد.

Comments

@N عدد $n$ را دلخواه گرفته‌اید؟ در اینصورت استقرائی که ازش صحبت می‌کنید را چگونه انجام می‌دهید؟ توان صفرم $f$ را چه تعریف کرده‌اید؟ ۱؟ در این صورت گام نخست می‌شود $1\mid f(n)$ اکنون چگونه از این گام به گام دوم که $f(n)\mid f(f(n))$ است می‌رسید؟ اگر می‌خواهید از ویژگی یاد شده در پرسش استقاده کنید باید داشته باشید $n\mid f(n)$ تا بتوانید گام دوم را نتیجه بگیرید. اگر هم توان صفرم را به جای ۱ تابع همانی فرض کرده‌اید که در اینصورت نمی‌توانسته‌اید $n$ را یک عدد دلخواه بردارید. پس اول باید نشان دهید که $n$ای وجود دارد که $n\mid f(n)$.