به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+6 امتیاز
333 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (1,763 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

با درود به دوستان و اساتید گرامی. همانطور که میدانیم، بطریق متعارف عبارت جبری $a^2+b^2$ تجزیه ناپذیر است ولی مجموع دو مربع در میدان اعداد طبیعی ممکن است تجزیه پذیر باشد. مانند $3^2+1^2=2×5$ . شرط تجزیه پذیری عبارت جبری مذکور در میدان اعداد طبیعی چیست؟ با سپاس پیشین از توجه دوستان.

توسط ناصر آهنگرپور (1,763 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+2
@Elyas1 : بسیار عالی. این یعنی اعداد اول بشکل $4n-1$ را هم نمیتوان بشکل $a^2+1$ نمایش داد. اگر تکلیف اعداد اول بشکل $4n+1$ هم مشخص شود، میتوان این موضوع را در سؤال یا بلاگ جدیدی بررسی کرد. البته پیداست که $n$ باید مربع کامل باشد تا اعداد اول بشکل $4n+1$ بشکل $a^2+1$ نمایشپذیر باشد. چون این پیشنهاد از طرف آقای @amir7788 بوده، میتوانند در این باره اقدام کنند. با دیدگاه مناسب آقای @Elyas1 جواب در دسترس است.
توسط amir7788 (2,488 امتیاز)
+3
@ناصر آهنگرپور. شما محبت دارید با اجازه شما حالت خاص سوال را در پست جداگانه قرار می دهم
توسط amir7788 (2,488 امتیاز)
+2
@Elyas1 عدد فرد  به جای aقرار دهید مطمئنا حاصل $ a^2 +1$زوج می شود در واقع باید برای A زوج بحث کنید.
توسط ناصر آهنگرپور (1,763 امتیاز)
+2
@amir7788 : فکر میکنم طرح جدید سؤال حالت خاصی از طرح همین سؤال است. زیرا در $a^2+1$ عدد $1$ مربع کامل است. به همین دلیل با همین روش درحالت کلی قابل حل است. البته برای $a$ نمیتوان شرایطی تعیین کرد که عبارت $a^2+1$ فقط عدد اول تولید کند. زیرا هیچ عبارت جبری تک مجهولی نمیتواند فقط عدد اول تولید کند ولی در حالت کلی میتوان با روش مطروحه در اینجا برای تجزیه پذیر بودن یا نبودن آن شرایطی تعیین کرد.
توسط Elyas1 (3,994 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1
+1
@amir7788 من فکر کردم سوال شما این است
«برای کدام $a$ از اعداد طبیعی حاصل $a^2+1$ اول است.»
برای همین گفتم که اعداد اول به شکل $4k+3$ را نمی توان به شکل $a^2+1$ نوشت. پس باید روی اعداد اول به شکل $4k+1$ بحث کنیم.

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (1,763 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

با درود مجدد به دوستان و اساتید عزیز. اگر بخواهیم جوابی منطقی برای این سؤال بیابیم، باید بدنبال اعداد اولی باشیم که مجموع دو مربع باشند و سپس با اتحادی که معرفی میشود، میتوان جواب این سؤال را یافت. میدانیم که اعداد اول را میتوان به سه گروه تقسیم بندی کرد.

1) عدد $2$ بعنوان تنها عدد اول زوج که بصورت $1^2+1^2=2$ قابل نمایش است.

2) اعداد اول بشکل $4n+1=p$ که پیر دو فرما ثابت کرده بشکل مجموع دو مربع قابل نمایش هستند.

$2^2+3^2=13$

3) اعداد اول بشکل $4n-1=q$ که ثابت شده بشکل مجموع دو مربع قابل نمایش نیستند ولی توانهای زوج آنها را میتوان بشکل مجموع دو مربع نمایش داد. مانند عدد اول $3$.

$3^2+0^2=3^2$

سپس اتحاد زیر به کمک می آید.

$1)(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$

سمت چپ اتحاد $1$ به ما میگوید اگر دو عدد اول بشکل مجموع دو مربع را به هم ضرب کنیم، حاصل آنرا نیز میتوانیم بشکل مجموع دو مربع نمایش دهیم. حال بکمک گروهبندی مذکور اعداد اول و اتحاد $1$ میتوان ضابطه ای برای تجزیه پذیری مجموع دو مربع تعریف کرد.

تنها مجموعهای دو مربعی که تجزیه پذیرند، یا بشکل $2^k×p^n×q^{2m}$ هستند که در آن توانهای $(k,n,m)$ اعداد دلخواه حسابی $W$ هستند که حداقل دو تا از این توانها بزرگتر از صفر باشد یا بشکل یکی از گروهبندیهای اعداد اول با توان بزرگتر یا مساوی $2$.

و حتی میتوان گفت:

تنها مجموعهای دو مربعی که تجزیه پذیر نیستند، عبارتند از $2=1^2+1^2$ و اعداد اول بشکل $p=4n+1$ مانند $13=2^2+3^2$

در واقع میتوان گفت برخلاف شکل جبری مجموع دومربع که تجزیه ناپذیر است، مجموع دو مربع در میدان اعداد طبیعی، بیشتر تجزیه پذیرند و کمتر تجزیه ناپذیر.

مرجع: کتاب نظریه اعداد، تألیف Terence Hugh Jackson، ترجمه اکبر حسنی، نشر دانشگاهی، چاپ اول ۱۳۷۰، صفحات ۷۷-۸۲

از راهنماییهای اساتید گرامی در جهت تصحیح اشتباهات احتمالی سپاسگزار خواهم بود. با آرزوی موفقیت و تندرستی برای همه دوستان و اساتید گرامی.

توسط amir7788 (2,488 امتیاز)
+1
@ناصر آهنگرپور. اولا مفهوم گروه بندی متوجه نمی شوم. دوما چه فرقی بین و  pو q وجود دارد. سوما حداقل دو تا بزرگتر از صفر  است یعنی دوتا صفر نیست.  k=m=0 وn=1 و p=13 چه مشگلی دارد.
توسط ناصر آهنگرپور (1,763 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@amir7788 :
با درود و سپاس صمیمانه از توجه دوست و استاد گرامی. گروهبندی اعداد اول به این منظور است که مشخص شود چه نوع اعداد اول با چه شرایطی بصورت مجموع دو مربع نمایشپذیرند. فرق بین $p$ و $q$ نیز به روشنی توضیح داده شده که $p$ نماینده اعداد اول بشکل
$p=4n+1$
و $q$ نماینده اعداد اول بشکل
$q=4n-1$
است. چون سه گروه مذکور در پاسخ بنده شامل همه اعداد اول است، میتوان از آن برای جواب این سؤال بهره جست. شرط اینکه حداقل دو تا از توانهای
$k,n,m$
باید بزرگتر از صفر باشند، برای این است که بدنبال تجزیه پذیری مجموع دو مربع هستیم. اگر همه توانها صفر شوند، جواب $1$ میشود  که تجزیه پذیر نیست. مشکل جمله آخر دیدگاه محترمتان این است که حاصل $13$ میشود و برخلاف درخواست سؤال تجزیه ناپذیر است. اصل ثابت شده ای داریم که میگوید در ضرب دوبدو اعداد اول باید توانشان بزرگتر از $0$ باشد تا عددی تجزیه پذیر تولید کنند. با تشکر صمیمانه از همراهی دوستانه شما. زنده و پاینده باشید.
0 امتیاز
توسط amir7788 (2,488 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
  • قضیه ای که در زیر اشاره شد شاید مفید برای حل مسئله باشه. اول فکر کردم جواب مسئله می باشه اما با تذکر دوستان متوجه شدم که جواب نیست اما جهت اطلاع دوستان حذفش نکردم

قضیه. عدد طبیعی n به صورت مجموع دو مربع کامل قابل نمایش است اگر و تنها اگر در تجزیه n به عوامل اول، هر عامل اول به صورت 4m+1 با نمای زوج باشد.

  • اثبات این قضیه در صفحه 28 کتاب، کتاب اثبات ترجمه سیامک کاظمی چاب 1379 می باشه.
توسط ناصر آهنگرپور (1,763 امتیاز)
+3
@amir7788 :

 با درود مجدد به دوست و استاد عزیز. امیدوارم دیدگاه بنده را دوستانه تلقی کنید. مشکلی در پاسختان مشاهده میشود که امیدوارم اشتباه چاپی باشد. اصل ثابت شده ای داریم که میگوید همه توانهای اعداد اول بشکل $4m+1$ و حاصلضربهایشان، بصورت مجموع دو مربع نمایشپذیرند. مثال :


$5^3=10^2+5^2$

$1625=13×5^3=40^2+5^2$
توسط ناصر آهنگرپور (1,763 امتیاز)
+3
@amir7788 : نیت خوبتان در ایجاد محیطی آموزنده و صمیمی جای تقدیر و تشکر دارد.
توسط ناصر آهنگرپور (1,763 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+2
@amir7788 و @Elyas1 :
 با درود مجدد. یک اتحاد کلی برای مجموع دو مربع داریم که بکمک آن میتوان برای $a,b$ شرایطی درجهت تجزیه پذیری دو مربع تهیه کرد. اتحاد زیر قابل بررسی است.

$(a- \sqrt{2ab}+b)( a+\sqrt{2ab}+b)=a^2+b^2$

این اتحاد میگوید اگر حاصلضرب $ab$ بشکل $2k^2$ باشد که در آن $k>1$ ، آنگاه مجموع دو مربع تجزیه پذیر است. میتوان $a$ را حاصلضرب مجذور کاملی در توان فردی از $2$ و $b$ را توان زوجی از عدد فرد در نظر گرفت. در واقع اگر

$a= 2^{2m+1}×n^{2s} $ , $b=(2k+1)^{2t}$

مجموع دو مربع همیشه تجزیه پذیر است. این ساده ترین جواب این مسئله است. امیدوارم سودمند واقع شود.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...