اگر a=b باشه واضح است
با توجه به اتحاد
$$\quad a^2+b^2=(a- \sqrt{2ab} +b)(a+ \sqrt{2ab} +b)$$
نتیجه می شه که زیر رادیکال باید مربع کامل باشه پس می توان برای a و b متمایز حالتهای زیر متصور شد
$$(1) \begin{cases}a=1\\ b=2x^2 \end{cases}
(2) \begin{cases}a=2\\b=x^2 \end{cases}
(3)\begin{cases}a=x\\b=2x \end{cases}
(4)\begin{cases}a=x^2 \\b=2y^2 \end{cases} $$
$$
(5)\begin{cases}a=2x^2 y\\b=y\end{cases}
$$
همه این حالتهای با کمی دقت متوجه می شوید که در حالت پنجم قرار دارند
بنابراین برای هر x وy طبیعی
$$\begin{cases}a=2x^2 y\\b=y\end{cases} $$
اگر y بزرگتر از یک باشه به صورت زیر تجزیه می شود.
$$a^2 +b^2 =4x^4y^2 +y^2 =y^2 (4x^4+1)$$
اگر y=1 باشه بصورت زیر تجزیه می شه
$$a^2 +b^2 =4x^4 +1=(2x^2 +2x+1)(2x^2 - 2x+1)
$$
توجه کنید که a و b می توانند جا به جا شوند
