به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
203 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (1,948 امتیاز)

با درود به دوستان و استادان گرامی. آیا در میدان اعداد طبیعی تفاضل دو مکعب میتواند مربع کامل باشد؟

$a^3-b^3=c^2$

این سؤال از ذهنیت بنده است و مرجعی ندارد. چون مثال نمونه نیافتم پرسش کردم. wolfram alpha تحت اندروید جوابهای بیمایه میدهد که یکی از پارامترها را صفر منظور میکند. با سپاس از توجه ارزشمند همراهان.

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

نشان می دهم که بینهایت جواب داره

با فرض a=nb داریم $$A=a^3 - b^3 =(n^3 - 1)b^3 $$ حال کافی است $$b=n^3 - 1 \Rightarrow A=(n^3 - 1)^4 $$ در نتیجه برای هر n و m طبیعی معادله اصلی دارای جوابی به صورت زیر می باشه $$a =n(n^3 - 1)m^2 \\b =(n^3 - 1) m^2 \\c=(n^3 - 1)^2 m^3 $$

توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
@ناصر آهنگرپور
برای حالتی که a و b نسبت بهم اول باشند معادله در N جواب نداره.
توسط ناصر آهنگرپور (1,948 امتیاز)
@amir7788 : با درود به استاد گرامی. آیا اثباتی برای گزاره اخیرتان موجود است. اگر در اختیار دارید، از راهنماییتان بسیار ممنون میشم. تندرست و پیروز باشید.
توسط ناصر آهنگرپور (1,948 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@amir7788 : با درود بر دوست و استاد گرامی. راه حلی بنظرم رسیده که امیدوارم با همکاری بتوانیم به نتیجه خوبی برسانیم.
$(a^2)^3-(b^2)^3=(a^2-b^2)×((a^2+b^2)^2-(ab)^2)$
بنظر شما پرانتزهای سمت راست را که هر دو تفاضل مربعات هستند، میتوان همزمان به مربع کامل تبدیل کرد؟ یا اینکه دو طرف را بتوان دو برسانیم و سمت چپ را به تفاضل دو مکعب تبدیل کنیم؟ اگر بتوانیم این کار را انجام دهیم، راه حل کلی را بدست آورده ایم. پرانتز اول همان قضیه فیثاغورث است. پرانتز دوم کمی کار می برد. ضمناً اتحاد زیر نیز شاید بدرد بخورد.
$(a^2)^3-(b^2)^3=(a^3+2ab^2)^2-(2a^2b+b^3)^2$
 همکاری دوستان دیگر هم میتواند مفید باشد.
توسط ناصر آهنگرپور (1,948 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@amir7788 : با درود مجدد به دوست و استاد عزیز: مواردی را بکمک کدنویسی یافته ام که در آن $(a,b,c)$ دوبدو نسبت بهم اول هستند.
$8^3-7^3=13^2$
$71^3-23^3=588^2$
$74^3-47^3=549^2$
$105^3-104^3=181^2$
امیدوارم بیاری هم بتوانیم راه حل کلی را بدست آوریم. تندرست و سرافراز باشید.
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
+1
@ناصرآهنگرپور بسیار عالی، جواب کلی بدست آوردن  احتمالا ساده نیست سعی می کنم یه د سته  جوابش پیدا کنم.
0 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (1,948 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

@amir7788 :

با درود بر دوست و استاد بزرگوار. بنظر میاد جواب بسیار ساده و در دسترس است. اگر به پاسخ مندرج در اینجا توسط بنده توجه کنیم و در یکی از پرانتزهای مکعب دارای علامتهای متغیر از $(-1)$ فاکتور بگیریم، جواب این سؤال بدست می‌آید. اگر این کار بروی پرانتزی که علامت منفی جملات با توان و ضریب بزرگتری دارد صورت گیرد، نتیجه بهتری دارد. زیرا احتمال منفی شدن آن کمتر میشود. یعنی:

$(1:)\quad(s^4+8st^3)^3-(4s^3t-4t^4)^3=(s^6-20s^3t^3-8t^6)^2$


$(2:)\quad(2(s^4+2ts^3+2t^3s+t^4))^3-(4ts^3+6t^2s^2+4t^3s-t^4-s^4)^3=(3(s-t)(s+t)(s^4+2s^3t+6s^2t^2+2st^3+t^4))^2$


$(3:)\quad(3s^4+6t^2s^2-t^4)^3-(3s^4-6t^2s^2-t^4)^3=(6st(3s^4+t^4))^2$

طبیعی است اگر پرانتزی از مکعبها منفی شود، با تعویض مقادیر $s,t$ میتوان آنرا مثبت کرد. اگر پرانتز سمت راست معادلات فوق منفی شود، با توجه به زوج بودن توان اهمیتی ندارد. همراهی خوب و همیشگی شما قابل تقدیر است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...