به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
122 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)

با درود به دوستان و استادان گرامی. آیا در میدان اعداد طبیعی تفاضل دو مکعب میتواند مربع کامل باشد؟

$a^3-b^3=c^2$

این سؤال از ذهنیت بنده است و مرجعی ندارد. چون مثال نمونه نیافتم پرسش کردم. wolfram alpha تحت اندروید جوابهای بیمایه میدهد که یکی از پارامترها را صفر منظور میکند. با سپاس از توجه ارزشمند همراهان.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

نشان می دهم که بینهایت جواب داره

با فرض a=nb داریم $$A=a^3 - b^3 =(n^3 - 1)b^3 $$ حال کافی است $$b=n^3 - 1 \Rightarrow A=(n^3 - 1)^4 $$ در نتیجه برای هر n و m طبیعی معادله اصلی دارای جوابی به صورت زیر می باشه $$a =n(n^3 - 1)m^2 \\b =(n^3 - 1) m^2 \\c=(n^3 - 1)^2 m^3 $$

توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@amir7788: با درود به همراه خوب همیشگی. پاسختان صحیح است و از بابت صرف هزینه از وقت گرانبهایتان بینهایت سپاسگزارم. منتظر پاسخهای دیگر خواهم ماند. 1+
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@amir7788 : فقط یک سؤال پیش میاد. گویا پاسخ شما عامل مشترک دارد. آیا با $(a,b)=1$ هم جوابی برای این سؤال هست؟
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
@ناصر آهنگرپور
برای حالتی که a و b نسبت بهم اول باشند معادله در N جواب نداره.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
@amir7788 : با درود به استاد گرامی. آیا اثباتی برای گزاره اخیرتان موجود است. اگر در اختیار دارید، از راهنماییتان بسیار ممنون میشم. تندرست و پیروز باشید.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@amir7788 : با درود بر دوست و استاد گرامی. راه حلی بنظرم رسیده که امیدوارم با همکاری بتوانیم به نتیجه خوبی برسانیم.
$(a^2)^3-(b^2)^3=(a^2-b^2)×((a^2+b^2)^2-(ab)^2)$
بنظر شما پرانتزهای سمت راست را که هر دو تفاضل مربعات هستند، میتوان همزمان به مربع کامل تبدیل کرد؟ یا اینکه دو طرف را بتوان دو برسانیم و سمت چپ را به تفاضل دو مکعب تبدیل کنیم؟ اگر بتوانیم این کار را انجام دهیم، راه حل کلی را بدست آورده ایم. پرانتز اول همان قضیه فیثاغورث است. پرانتز دوم کمی کار می برد. ضمناً اتحاد زیر نیز شاید بدرد بخورد.
$(a^2)^3-(b^2)^3=(a^3+2ab^2)^2-(2a^2b+b^3)^2$
 همکاری دوستان دیگر هم میتواند مفید باشد.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@amir7788 : با درود مجدد به دوست و استاد عزیز: مواردی را بکمک کدنویسی یافته ام که در آن $(a,b,c)$ دوبدو نسبت بهم اول هستند.
$8^3-7^3=13^2$
$71^3-23^3=588^2$
$74^3-47^3=549^2$
$105^3-104^3=181^2$
امیدوارم بیاری هم بتوانیم راه حل کلی را بدست آوریم. تندرست و سرافراز باشید.
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
+1
@ناصرآهنگرپور بسیار عالی، جواب کلی بدست آوردن  احتمالا ساده نیست سعی می کنم یه د سته  جوابش پیدا کنم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...