ثابت کنید اگر $a-b$ مکعب کامل باشد، عبارت $a^2+ab+b^2$ با هیچ مقداری از $a,b \in \mathbb{N}$ مکعب کامل نخواهد بود.

Question

با درود به همراهان گرامی. ثابت کنید اگر $a-b$ مکعب کامل باشد، عبارت $a^2+ab+b^2$ با هیچ مقداری از $a,b \in \mathbb{N}$ مکعب کامل نخواهد بود‌. با سپاس از همراهی ارزشمند دوستان.

Answer 1

با درود به همراهان گرامی. پاسخ این پرسش نیز شبیه پست زیر است.

https://math.irancircle.com/25932

زیرا تفاضل دو مکعب زیر مساوی حاصلضرب عبارات مندرج در سؤال است.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

اگر هردو عبارت سمت راست مکعب کامل باشند، حکم ثابت شده درباره قضیه آخر فرما نقض میشود. با $p>2$، بطور کلی میتوان ثابت کرد اگر عبارت $(a-b)$ توان $p$ ام کامل باشد، هیچ عبارتی بشکل

$a^{p-1}+a^{p-2}b+ . . . +ab^{p-2}+b^{p-1}$

نمیتواند توان $p$ ام کامل باشد. این موضوع زمانی جالب میشود که $b=1$ باشد. در اینصورت اگر $a-1$ توان $p$ ام کامل باشد، عبارت زیر نمیتواند توان $p$ ام کامل باشد

$a^{p-1}+a^{p-2}+ . . . +a^1+a^0$

این نتیجه جالبی است که با اثبات قضیه آخر فرما بدست می‌آید. پیروز و تندرست باشید.