ثابت کنید $(a^2+b^2+c^2)^2-(a^2-b^2+c^2)^2=(2ab)^2+(2bc)^2$

Question

با درود به همراهان گرامی. اتحاد دیوفانتی زیر را ثابت کنید

$(a^2+b^2+c^2)^2-(a^2-b^2+c^2)^2=(2ab)^2+(2bc)^2$

با سپاس از توجه دوستان.

Answer 1

یک روش این است که هر کدام از پرانتزها را به کمک اتحاد مربع سه جمله ای بسط دهید و جملات را با هم ساده کنید و به سمت راست برسید.

یک روش دیگر هم استفاده از اتحاد مزدوج است $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$$\begin{align} (a^2+b^2+c^2)^2-(a^2-b^2+c^2)^2&=\left( (a^2+b^2+c^2)-(a^2-b^2+c^2)\right)\\ &\times\left((a^2+b^2+c^2)+(a^2-b^2+c^2)\right)\\ &=(2b^2)(2a^2+2c^2)\\ &=4a^2b^2+4b^2c^2 \end{align}$$

Comments

@fardina : با درود فراوان. بسیار عالی بود. از همراهی خوبتون سپاسگزارم.