معادله دیوفانتی $w^2=x^2+y^2+z^2$ چند دسته پاسخ پارامتری دارد؟

Question

با درود به همراهان گرامی. معادله دیوفانتی $w^2=x^2+y^2+z^2$ چند دسته پاسخ پارامتری دارد؟ یک نمونه را استاد گرامی @fardina در پست زیر حل کرده اند.

https://math.irancircle.com/26607

نمونه دیگر عبارت است از:

$(2a^2+b^2)^2=(2ab)^2+(2a^2)^2+(b^2)^2$

آیا پاسخ پارامتری دیگری دارد؟ با سپاس از توجه همراهان گرامی.

Answer 1

این معادله دیوفانتی به چهارگانه فیثاغورسی معروف است و می توان برای آن جواب های متعددی پیدا کرد. یکی از ساده ترین جواب ها به صورت زیر است: $$x=2a , y=3a, z=6a, w=7a$$

همچنین:

$$x=m^2+n^2-p^2-q^2, \\ y= 2(mq+np), \\ z=2(nq-mp), \\ w=m^2+n^2+q^2+p^2$$

یکی از جواب های کلی این مساله است که در حالتی خاص، در واقع تمام جواب های ممکن را تولید میکند. برای دیدن این حالت خاص می توانید مقاله انگلیسی ویکی پدیا در این مورد را مطالعه کنید.

علاوه بر این، در اینجا نیز می توانید جواب های متعددی ببینید.