آیا فرمول پارامتری مناسبی برای معادله دیوفانتی $a^2+b^2=c^2+d^2$ وجود دارد؟

Question

با شادباش بمناسبت سال نو. آیا فرمول پارامتری مناسبی برای معادله دیوفانتی زیر وجود دارد؟ $$(1)\quad a^2+b^2=c^2+d^2$$ نکته جالب این است که اگر فرمول پارامتری مناسبی داشته باشیم، با جابجایی متغیرهای آن میتوان برای معادله دیوفانتی زیر نیز جوابی یافت. $$(2)\quad a^2-c^2=d^2-b^2$$ مثال نمونه:

$$11^2+2^2=10^2+5^2$$ $$11^2-10^2=5^2-2^2$$

تلاش خودم: با نرم افزار ریاضی توانستم بصورت تجربی پاسخ پارامتری زیر را بیابم ولی نکته این است که اثباتی برایش ندارم و همه جوابها را بدست نمی‌آورد. $$(3)\quad (m+n)^2+(8m+3n)^2=(7m+3n)^2+(4m+n)^2$$ بطور مثال $5^2+5^2=7^2+1^2$ را نمیتوان با فرمول پارامتری $(3)$ بدست آورد.

از توجه همراهان گرامی سپاسگزارم.

Answer 1

به رابطه زیر توجه کنید:

$$(p r + q s)^2 + (q r - p s)^2 = (p r - q s)^2 + (p s + q r)^2$$

ایده پیدا کردن چنین رابطه ای استفاده از اندازه دو عدد مختلط است.

برای مطالعه بیشتر اینجا را بخوانید.

Answer 2

هوش مصنوعی ChatGPT پاسخ زیر رو به این سؤال داد که جالبه:

بله، فرمول پارامتری زیر برای معادلهٔ دیوفانتی $a^2+b^2=c^2+d^2$ وجود دارد:

$a = m^2 - n^2$

$b = 2mn$

$c = m^2 + n^2$

$d = c$

که در آن $m$ و $n$ اعداد صحیح هستند. با جایگذاری این مقادیر در معادلهٔ دیوفانتی، به راحتی می‌توان اثبات کرد که این فرمول پارامتری درست است.

Comments

@بی نام : از همراهی خوبتون سپاسگزارم. مقادیر فوق را در نسخه کامل graphing calculator که mathlab تحت اندروید است قرار دادم. مقدار $m$ را تهی بدست آورد. تساوی $d=c$ نمیتواند درست باشد. زیرا تساوی زیر نادرست است.
$$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2+(m^2+n^2)^2$$