آیا جواب $(s^3-3st^2)^2+(3ts^2-t^3)^2=(s^2+t^2)^3$ برای معادله دیوفانتی $a^2+b^2=c^3$ قابل اثبات است؟

Question

با درود به دوستان و اساتید گرامی. آیا جواب پارامتری

$(s^3-3st^2)^2+(3ts^2-t^3)^2=(s^2+t^2)^3$

برای معادله دیوفانتی $a^2+b^2=c^3$ قابل اثبات است. جواب این معادله دیوفانتی در مرجع زیر بدون اثبات آمده است.

Comments

تساوی به صورت یه اتحاد می باشه کافی از اتحادهای مربع و مکعب دو جمله ایی استفاده کنید.

---

@amir7788 : با درود به استاد گرامی. کاملاً درسته. در واقع از معادله دیوفانتی سه مجهولی زیر به رابطه‌ مذکور در سؤال رسیدند.
$a^2+b^2=c^3$
چیزیکه برایم جالبه اینه که از چه روشی استفاده شده که رابطه زیبای دیوفانتی مندرج در سؤال بدست آمده؟! در واقع سؤال واقعی اینه که چگونه مقادیر $a,b,c$ برحسب $s,t$ بدست آمده؟ 1+

---

جواب کلی معادله دیوفانتی نمی باشه مثلا معادله اصلی 5، 10 و5 جواب معادله می باشه اما در تساوی اتحادی برای هیچ S و t صحیح صدق نمی کنه. ضمنا از اینکه یه دسته جواب معادله داشته باشیم ممکنه (لزوما) از آن جواب از معادله اصلی بدست نمی آید.

---

@amir7788 : با درود مجدد. مثال خوبی آوردید. راه حل کامل بحثی است که با همکاری شاید بتوانیم به نتیجه برسانیم. ولی سؤال همچنان مطرح است که چگونه رابطه پارامتری فوق بدست آمده؟ 1+

Answer 1

$$a^2 +b^2 \geq0 \Rightarrow c\geq 0 $$

در نتیجه اعداد s و t وجود دارند بطوریکه $$c=s^2 +t^2 \Rightarrow c^3 =(s^6+3s^2 t^4)+(t^6+3t^2 s^4) $$

هر یک از پرانتز ها را می توان به صورت مربع کامل نوشت مثلا برای پرانتز اول داریم $$s^6+3s^2 t^4=s^6-6s^2 t^4+9s^2 t^4=(s^3 - 3st^2) ^2 $$ به همین ترتیب برای پرانتز دوم می توان نوشت.

• به ازای هر t و s و k صحیح جوابهایی به شکل زیر دارد. $$a=(s^3 - 3st^2) k^3 $$ $$b=(t^3 - 3ts^2) k^3 $$ $$c=(s^2+t^2) k^2$$

Comments

@amir7788 : با درود و عرض ادب. پاسختان کاملاً درست است. من بر روی پاسخ کامل متمرکز شده ام. بنظر میرسد همانطور که برای معادله دیوفانتی درجه $2$ دو پارامتر لازم است، برای معادله دیوفانتی درجه $3$ سه پارامتر نیاز است تا جواب کامل بدست بیاد. پیشرفت کارم را به اشتراک خواهم گذاشت تا شاید بتوانیم با همکاری پاسخ کامل را بیابیم. 1+

---

@amir7788 : با درود مجدد به استاد گرمی. با تلاش زیاد به این نتیجه رسیدم که چون توانها در اینگونه معادلات دیوفانتی یکسان نیست، حالتهای زیرا را باید جداگانه حل کنیم. احتمالاً چون سه حالت زیر بغیر از حالت $I$ جواب بیشمار ندارند، در فرمول کلی نمی گنجند. پاسخهای زیر را از wolfram alpha تحت اندروید گرفتم.

$I)a^2+a^2=c^3$
$(16,16,8),(54,54,18),(128,128,32),(250,250,50)(432,432,72),(686,686,98)$

$II)a^2+b^2=a^3$
$(5,10,5),(10,30,10)$

$III)a^2+a^2=a^3$
$2^2+2^2=2^3$

---

@ناصرآهنگرپور
قبلا اشاره کردم جواب کلی نیست فقط جواب سوال شما دادم. در ادامه راه حل جواب کلی تری اشاره می کنم

---

@amir7788 : بنظر میاد پاسخ اولیه تان زیباتر است. زیرا در آن $(a,b)=1$ است. اصولاً حل معادلات دیوفانتی هنگامی اساسی هستند که پارامترها دوبدو نسبت بهم اول باشند. با سپاس از همراهی خوبتان.