به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
141 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (1,913 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

با درود به دوستان و اساتید گرامی. آیا جواب پارامتری

$(s^3-3st^2)^2+(3ts^2-t^3)^2=(s^2+t^2)^3$

برای معادله دیوفانتی $a^2+b^2=c^3$ قابل اثبات است. جواب این معادله دیوفانتی در مرجع زیر بدون اثبات آمده است.

مرجع: جلد دوم کتاب Number theory با عنوان Analytic and modern tools تألیف Henri Cohen نشر Springer سال 2007 بخش 14.2.2 صفحه 466
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
+1
تساوی به صورت یه اتحاد می باشه کافی از اتحادهای مربع و مکعب دو جمله ایی استفاده کنید.
توسط ناصر آهنگرپور (1,913 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@amir7788 : با درود به استاد گرامی. کاملاً درسته. در واقع از معادله دیوفانتی سه مجهولی زیر به رابطه‌ مذکور در سؤال رسیدند.
$a^2+b^2=c^3$
چیزیکه برایم جالبه اینه که از چه روشی استفاده شده که رابطه زیبای دیوفانتی مندرج در سؤال بدست آمده؟! در واقع سؤال واقعی اینه که چگونه مقادیر $a,b,c$ برحسب $s,t$ بدست آمده؟ 1+
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
+1
جواب کلی معادله دیوفانتی نمی باشه مثلا معادله اصلی 5، 10 و5 جواب معادله می باشه اما در تساوی اتحادی برای هیچ S و t صحیح صدق نمی کنه. ضمنا از اینکه یه دسته جواب معادله داشته باشیم ممکنه (لزوما) از آن جواب از معادله اصلی بدست نمی آید.
توسط ناصر آهنگرپور (1,913 امتیاز)
@amir7788 : با درود مجدد. مثال خوبی آوردید. راه حل کامل بحثی است که با همکاری شاید بتوانیم به نتیجه برسانیم. ولی سؤال همچنان مطرح است که چگونه رابطه پارامتری فوق بدست آمده؟ 1+

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
 
بهترین پاسخ

$$a^2 +b^2 \geq0 \Rightarrow c\geq 0 $$

در نتیجه اعداد s و t وجود دارند بطوریکه $$c=s^2 +t^2 \Rightarrow c^3 =(s^6+3s^2 t^4)+(t^6+3t^2 s^4) $$

هر یک از پرانتز ها را می توان به صورت مربع کامل نوشت مثلا برای پرانتز اول داریم $$s^6+3s^2 t^4=s^6-6s^2 t^4+9s^2 t^4=(s^3 - 3st^2) ^2 $$ به همین ترتیب برای پرانتز دوم می توان نوشت.

  • به ازای هر t و s و k صحیح جوابهایی به شکل زیر دارد. $$a=(s^3 - 3st^2) k^3 $$ $$b=(t^3 - 3ts^2) k^3 $$ $$c=(s^2+t^2) k^2$$
توسط ناصر آهنگرپور (1,913 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@amir7788 : با درود و عرض ادب. پاسختان کاملاً درست است. من بر روی پاسخ کامل متمرکز شده ام. بنظر میرسد همانطور که برای معادله دیوفانتی درجه $2$ دو پارامتر لازم است، برای معادله دیوفانتی درجه $3$ سه پارامتر نیاز است تا جواب کامل بدست بیاد. پیشرفت کارم را به اشتراک خواهم گذاشت تا شاید بتوانیم با همکاری پاسخ کامل را بیابیم. 1+
توسط ناصر آهنگرپور (1,913 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@amir7788 : با درود مجدد به استاد گرمی. با تلاش زیاد به این نتیجه رسیدم که چون توانها در اینگونه معادلات دیوفانتی یکسان نیست، حالتهای زیرا را باید جداگانه حل کنیم. احتمالاً چون سه حالت زیر بغیر از حالت $I$ جواب بیشمار ندارند، در فرمول کلی نمی گنجند. پاسخهای زیر را از wolfram alpha تحت اندروید گرفتم.

$I)a^2+a^2=c^3$
$(16,16,8),(54,54,18),(128,128,32),(250,250,50)(432,432,72),(686,686,98)$

$II)a^2+b^2=a^3$
$(5,10,5),(10,30,10)$

$III)a^2+a^2=a^3$
$2^2+2^2=2^3$
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
+1
@ناصرآهنگرپور
قبلا اشاره کردم جواب کلی نیست فقط جواب سوال شما دادم. در ادامه راه حل جواب کلی تری اشاره می کنم
توسط ناصر آهنگرپور (1,913 امتیاز)
@amir7788 : بنظر میاد پاسخ اولیه تان زیباتر است. زیرا در آن $(a,b)=1$ است. اصولاً حل معادلات دیوفانتی هنگامی اساسی هستند که پارامترها دوبدو نسبت بهم اول باشند. با سپاس از همراهی خوبتان.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...