با درود به همراهان گرامی. ارتباطی بین رابطه 1 , 2 در سؤال خود یافته ام که امیدوارم درست باشد. اگر رابطه 1 را بشکل زیر بازنویسی کنیم
$$(1)\quad v^2+w^2-x^2-y^2=z^2$$
و مقادیر زیر را منظور کنیم
$$v=a+b+c$$
$$w=a+b-c$$
$$x=a-b+c$$
$$y=-a+b+c$$
خواهیم داشت:
$$v^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$
$$w^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$$
$$x^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc$$
$$y^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$$
$$ \Longrightarrow v^2+w^2-x^2-y^2=8ab$$
حال با توجه به روابط فوق، براحتی میتوان دید برای اینکه $z^2$ را بدست آوریم، باید $a,b$ مربع باشند و ضریب 2 را به یکی از پارامترهای $a,b$ بدهیم. این یعنی دو دسته جواب زیر را داریم
$$v=2a^2+b^2+c$$
$$w=2a^2+b^2-c$$
$$x=2a^2-b^2+c$$
$$y=-2a^2+b^2+c$$
$$z=4ab$$
$$v=a^2+2b^2+c$$
$$w=a^2+2b^2-c$$
$$x=a^2-2b^2+c$$
$$y=-a^2+2b^2+c$$
$$z=4ab$$
برای حالت فرد $v-w$ با $b$ فرد و فرض مقادیر زیر داریم.
$$v=4a^2+b^2+c$$
$$w=2a^2+c$$
$$x=2a^2+b^2+c$$
$$y=4a^2+c$$
$$z=2ab$$
$$ \Longrightarrow v^2+w^2=x^2+y^2+z^2$$
که کاملاً با آزمون و خطا بدست آمده و دلیلی برایش ندارم. اثبات این مورد را به اساتید گرامی واگذار میکنم.
