آیا برای رابطه دیوفانتی $v^2+w^2=x^2+y^2+z^2$ پاسخ پارامتری مناسبی موجود است؟

Question

با درود به همراهان گرامی. آیا برای رابطه دیوفانتی

$(1)\quad v^2+w^2=x^2+y^2+z^2$

پاسخ پارامتری مناسبی موجود است؟ سؤال از جانب بنده است و نمیدانم راه حلی با پارامترهای کمتر یا بیشتر دارد یانه؟

تلاش خودم: با استفاده از نرم افزار ریاضی بطور تجربی توانستم پاسخ پارامتری زیر را بیابم.

$(2)\quad(2a^2+b^2+c)^2+(2a^2+b^2-c)^2=(2a^2-b^2+c)^2+(-2a^2+b^2+c)^2+(4ab)^2$

سؤال این است که چگونه از رابطه $(1)$ میتوان به رابطه $(2)$ رسید؟ یا اینکه فرض پارامتری فوق کافیست؟ با سپاس از توجه همراهان گرامی.

Comments

@ناصر آهنگرپور ،واضح است که جواب کلی نیست مثلاx صفر باشه آنگاه v با y و z با w می تونه برابرباشند. یا xو y صفر باشند معادله فیثاغورس داریم....بنظرم پارامترها متمایزو طبیعی بگیریدو حالا شاید جواب کلی باشد

---

@amir7788 : با درود به دوست و استاد گرامی. از توجهتون به این سؤال سپاس صمیمانه دارم. البته در معادلات دیوفانتی جوابهای طبیعی بگونه‌ای مدنظر است که هیچ پرانتزی صفر نشود. مثلاً اگر پارامترها بشکل $a=b=c=1$ مساوی باشند، جایگزین $y=-2a^2+b^2+c$ صفر میشود که در معادلات دیوفانتی، اینگونه جوابها به جوابهای بیمایه معروفند. بد نیست روشی را که به این پاسخ پارامتری رسیدم، بنویسم. با رابطه زیر در نسخه کامل graphing calculator (که matlab تحت اندروید است) کار را شروع کردم که جواب زیر را به من داد.
$(a+b+c)^2-(-a+b+c)^2+(a+b-c)^2-(a-b+c)^2=8ab$
چون حاصل سمت راست کاملاً ضربی است، حدس زدم اگر $(a,b)$ در سمت چپ مربع باشند، در سمت راست نیز مربع خواهند بود. عدد $8$ هم باید به $2$ ضرب شود تا مربع کامل شود. اینجا هم حدس زدم با دادن ضریب $2$ به یکی از پارامترهای $a,b$ در سمت چپ، عدد $8$ به $16$ تبدیل خواهد شد. با امتحان این حدس در نرم‌افزار فوق به صحت این حدس رسیدم و پاسخ پارامتری مندرج در سؤال را بدست آوردم. ولی بخوبی میدانم که حدس نمیتواند جای پاسخ تحلیلی کامل را بدهد. برای همین در این محفل سؤال را مطرح کردم. باآرزوی موفقیت و تندرستی.

---

@ناصر آهنگرپور، درود بر شما. سوال خوبی است اما فکر کنم از رابطه 1 به رابطه 2 نمی توان رسید، یعنی کلیه جوابهای 1 به فرم 2 نمی باشه. مثلا فرض x، y و v یک سه تایی فیثاغوسی مانند، 3، 4 و 5 باشه در این صورت z و w هر دو مقدار صحیح برابر و یا قرینه جواب است.

---

@amir7788 : بادرود صمیمانه. بنظر میاد با اتحاد مربع ۳ جمله‌ای بتوان این مسئله را حل کرد. کمی حوصله و پیگیری لازم دارد. شاید از اتحاد زیر بتوان استفاده کرد‌.
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$
همفکری راه حل همه مسائل است. شاید با روش دوست گرامی @moh_amin در پست زیر بتوان این مسئله را حل کرد.
https://math.irancircle.com/26215
با آرزوی موفقیت و تندرستی.

Answer 1

نشان می دهم که از رابطه 1 نمی توان به رابطه 2 رسید چون در رابطه اول جوابی وجود دارد که در 2 صدق نمی کند. فرض کنید

$$v=2a^2 +b^2 +c \quad, w=2a^2 +b^2 -c$$ نتیجه می شه که $v-w=2c$ زوج است. این موضوع با مثال نقض نشان می دهم که همواره برقرار نیست. با فرض زیر $$x=2,y=8,z=9,v=7,w=10$$ داریم $$2^2 +8^2 +9^2 =7^2 +10^2$$ یعنی در رابطه 1 صدق می کنه اما اختلاف v وw زوج نیست پس رابطه 2 برای هیچ a، b وc صحیحی وجود ندارد.

Comments

@amir7788 : با درود و عرض ادب و احترام. بسیار عالی. بنظر میاد همه جوابها را نمیتوان در پاسخ بنده یافت. ممکنه جوابهای دیگری با پارامترهای کمتر یا بیشتر داشته باشد. اما نتیجه نهایی شما برایم عجیب است. چون رابطه ۲ در سؤال بنده یک اتحاد محسوب میشود که با پارامترهای دلخواه منتهی به غیرصفر، برای $v,w,x,y,z$ مقادیر درستی میدهد. اما میتوان گفت رابطه 2 در سؤال بنده همه جوابهای ممکن را بدست نمیدهد. باسپاس از تلاش ارزشمندتان.

---

@amir7788 : با درود صمیمانه. برای حالت فرد $v-w$ متنی به پاسخم افزوده‌ام که بررسی آن خالی از لطف نیست. تندرست و موفق باشید.

Answer 2

با درود به همراهان گرامی. ارتباطی بین رابطه 1 , 2 در سؤال خود یافته ام که امیدوارم درست باشد. اگر رابطه 1 را بشکل زیر بازنویسی کنیم

$$(1)\quad v^2+w^2-x^2-y^2=z^2$$ و مقادیر زیر را منظور کنیم

$$v=a+b+c$$ $$w=a+b-c$$ $$x=a-b+c$$ $$y=-a+b+c$$

خواهیم داشت:

$$v^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$ $$w^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$$ $$x^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc$$ $$y^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$$ $$\Longrightarrow v^2+w^2-x^2-y^2=8ab$$

حال با توجه به روابط فوق، براحتی میتوان دید برای اینکه $z^2$ را بدست آوریم، باید $a,b$ مربع باشند و ضریب 2 را به یکی از پارامترهای $a,b$ بدهیم. این یعنی دو دسته جواب زیر را داریم

---

$$v=2a^2+b^2+c$$ $$w=2a^2+b^2-c$$ $$x=2a^2-b^2+c$$ $$y=-2a^2+b^2+c$$ $$z=4ab$$

---

$$v=a^2+2b^2+c$$ $$w=a^2+2b^2-c$$ $$x=a^2-2b^2+c$$ $$y=-a^2+2b^2+c$$ $$z=4ab$$

---

برای حالت فرد $v-w$ با $b$ فرد و فرض مقادیر زیر داریم.

$$v=4a^2+b^2+c$$ $$w=2a^2+c$$ $$x=2a^2+b^2+c$$ $$y=4a^2+c$$ $$z=2ab$$ $$\Longrightarrow v^2+w^2=x^2+y^2+z^2$$ که کاملاً با آزمون و خطا بدست آمده و دلیلی برایش ندارم. اثبات این مورد را به اساتید گرامی واگذار میکنم.

Comments

سلام . نتیجه گیری شما حالت کلی نیست مثلا یکی 3 و دیگری 6 باشد یا یکی3 و دیگری24 می تواند باشد و.... در حالت مد نظر ،صدق نمی کند.

---

@amir7788 : با درود و عرض ادب و احترام. بنده قبلاً مورد نقضی را که آوردید، پذیرفتم. پاسخ بنده فقط حالتی که v-w زوج است را بدست میدهد. با کمی تلاش بیاری یکدیگر شاید برای حالت فرد v-w هم راهی بیابیم. از همراهی خوبتون سپاسگزارم.

---

در پست قبلی شاید خوب بیان نکردم، نتیجه ای که در اثبات راه حل شما گرفتید یعنی «، باید a,b مربع باشند و ضریب 2 را به یکی از پارامترهای a,b بدهیم» این نتیجه گیری اشتباه است مثال 3 و 6 برای این مورد بود.

---

@amir7788 : با درود مجدد. کاملاً حق با شماست. فقط باید توجه کرد که چون حاصلضرب ضرایب $a,b$ به $z=8ab$ منتقل میشود، این حاصلضرب باید بشکل $2n^2$ باشد تا باضرب شدن در $8ab$ در پاسخ آخر بنده، عدد $8$ مربع کامل شود. بنده ساده ترین شکل $2*1^2$ را انتخاب کردم تا حالت کلی‌تری بگیرد. هرچه ضرایب پارامترها بزرگتر باشند، جوابهای بیشتری از قلم می‌افتند. با سپاس مجدد از توجه سازنده‌تان.