ثابت کنید $(3a^3+3b^3+c^3)^3-(6abc)^3=(3a^3-3b^3+c^3)^3+(3a^3+3b^3-c^3)^3+(-3a^3+3b^3+c^3)^3$

Question

با درود به دوستان و اساتید عزیز. اتحاد زیر را چگونه میتوان ثابت کرد؟

$$(I)\colon\quad(3a^3+3b^3+c^3)^3-(6abc)^3=(3a^3-3b^3+c^3)^3+(3a^3+3b^3-c^3)^3+(-3a^3+3b^3+c^3)^3$$

تلاش خودم: راه حلی دارم که به صحت آن اطمینان ندارم. با استفاده از تساوی زیر

$$(a+b+c)^3-(a-b+c)^3-(a+b-c)^3-(-a+b+c)^3=2^3×3×abc$$

همانطور که می‌بینیم اگر همه متغیرها در سمت راست، مکعب کامل باشند و به $9$ ضرب شوند، عبارت سمت راست مکعب کامل میشود. توان سوم متغیرها را به عبارات سمت چپ بردم و مضرب $9$ را بین دو متغیر $a,b$ توزیع کردم. حاصل عبارت زیر شد.

$$(3a^3+3b^3+c^3)^3-(3a^3-3b^3+c^3)^3-(3a^3+3b^3-c^3)^3-(-3a^3+3b^3+c^3)^3=(6abc)^3$$

و با جابجایی جبری ساده، اتحاد $(I$ را با نرم افزار ریاضی بدست آوردم. از راهنمایی اساتید گرامی سپاسگزار خواهم بود. تندرست و سرافراز باشید.

Comments

@AmirHosein : با درود به استاد گرامی. میخواستم اگر ممکنه درباره درستی یا نادرستی روش بنده نظرتان را بدانم. برداشت من این بود که چون عبارت سمت راست تساوی در روش بنده کاملاً ضربی است، میتوان باروش فوق به اتحاد مذکور رسید. با سپاس پیشاپیش.

Answer 1

ابتدا اتحاد زیر را ثابت میکنیم:

$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(x+z)(y+z)$

برهان:

$(x+y+z)^3=((x+y)+z)^3$

$=(x+y)^3+z^3+3z(x+y)(x+y+z)$

$=x^3+y^3+3xy(x+y)+z^3+3(x+y)(zx+zy+z^2)$

$=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(xy+zx+zy+z^2)$

$=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(x(y+z)+z(y+z))$

$=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(x+z)(y+z)$

و به این صورت اثبات اتحاد به پایان میرسد و به سراغ خود مسئله میرویم. فرض میکنیم:

$x=3a^3+3b^3-c^3$

$y=3a^3-3b^3+c^3$

$z=-3a^3+3b^3+c^3$

بنابراین:

$x+y=6a^3$

$x+z=6b^3$

$y+z=2c^3$

$x+y+z=3a^3+3b^3+c^3$

با توجه به اتحاد داریم:

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(x+z)(y+z)$

$\Rightarrow (3a^3+3b^3-c^3)^3+(3a^3-3b^3+c^3)^3+(-3a^3+3b^3+c^3)^3=$

$(3a^3+3b^3+c^3)^3-3(6a^3)(6b^3)(2c^3)=(3a^3+3b^3+c^3)^3-(6abc)^3$

و بدین ترتیب حکم ثابت شده است

Comments

moh_amin : با درود به دوست گرامی. بسیار عالی. راه حل مبتکرانه‌ایست. اگه اشتباه نکنم، توان سوم در سمت چپ تساوی آخر از قلم افتاده. منتظر جوابهای دیگر خواهم ماند تا بهترین را انتخاب کنم. ۱+

---

@ناصر آهنگپور
با سپاس از توجه شما. پاسخ رو ویرایش کردم فکر میکنم مشکل حل شده باشه

---

@moh_amin : بله. ممنون از همراهی خوبتون.