ابتدا اتحاد زیر را ثابت میکنیم:
$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(x+z)(y+z)$
برهان:
$(x+y+z)^3=((x+y)+z)^3$
$=(x+y)^3+z^3+3z(x+y)(x+y+z)$
$=x^3+y^3+3xy(x+y)+z^3+3(x+y)(zx+zy+z^2)$
$=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(xy+zx+zy+z^2)$
$=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(x(y+z)+z(y+z))$
$=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(x+z)(y+z)$
و به این صورت اثبات اتحاد به پایان میرسد و به سراغ خود مسئله میرویم.
فرض میکنیم:
$x=3a^3+3b^3-c^3$
$y=3a^3-3b^3+c^3$
$z=-3a^3+3b^3+c^3$
بنابراین:
$x+y=6a^3$
$x+z=6b^3$
$y+z=2c^3$
$x+y+z=3a^3+3b^3+c^3$
با توجه به اتحاد داریم:
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(x+z)(y+z)$
$\Rightarrow (3a^3+3b^3-c^3)^3+(3a^3-3b^3+c^3)^3+(-3a^3+3b^3+c^3)^3=$
$(3a^3+3b^3+c^3)^3-3(6a^3)(6b^3)(2c^3)=(3a^3+3b^3+c^3)^3-(6abc)^3$
و بدین ترتیب حکم ثابت شده است