با درود بر همراهان گرامی. با پارامترهای $s,t \in Z$ حل کامل معادله دیوفانتی $x^3+y^3=z^2$ در سه دسته بقرار زیر است.
$x=s^4+8st^3$
$y=4t^4-4s^3t$
$z=s^6-20s^3t^3-8t^6$
$ \Longrightarrow (s^4+8st^3)^3+(4t^4-4s^3t)^3=(s^6-20s^3t^3-8t^6)^2$
$x=s^4-4ts^3-6t^2s^2-4t^3s+t^4$
$y=2(s^4+2ts^3+2t^3s+t^4)$
$z=3(s-t)(s+t)(s^4+2s^3t+6s^2t^2+2st^3+t^4)$
$ \Longrightarrow (s^4-4ts^3-6t^2s^2-4t^3s+t^4)^3+(2(s^4+2ts^3+2t^3s+t^4))^3=(3(s-t)(s+t)(s^4+2s^3t+6s^2t^2+2st^3+t^4))^2$
$x=-3s^4+6t^2s^2+t^4$
$y=3s^4+6t^2s^2-t^4$
$z=6st(3s^4+t^4)$
$ \Longrightarrow(-3s^4+6t^2s^2+t^4)^3+(3s^4+6t^2s^2-t^4)^3=(6st(3s^4+t^4))^2$
طبیعی است اگر در سمت چپ، پرانتزی منفی شد، با تعویض مقادیر $s,t$ میتوان آنرا مثبت کرد. در سمت راست چون توان زوج است، منفی شدن داخل پرانتز اهمیتی ندارد.
مرجع: جلد دوم کتاب Number theory با عنوان Analytic and modern tools
تألیف Henri Cohen نشر Springer سال $2007$ بخش $14.3.1$ صفحه $467$
لازم بذکر است که متأسفانه این کتاب دوجلدی با ارزش ترجمه‌ای به فارسی ندارد یا حداقل بنده از آن بی‌خبرم.
