به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
171 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

با درود بر همراهان گرامی. با فرض طبیعی بودن همه متغیرها، آیا اثباتی برای وجود یا عدم وجود جوابهای بیشمار برای معادله دیوفانتی $a^3+b^3=c^2$ موجود است؟ نمونه جواب بشکل زیر را داریم ولی معلوم نیست آیا جوابهای دیگری متصور هست یا نه. این سؤال از ذهنیت بنده است و مرجعی ندارد. تلاش خودم هم بجایی نرسید.

$2^3+1^3=3^2$

پاسخ زیر را هم چند دقیقه پیش از wolfram alpha تحت اندروید دریافت کردم.

$2^3+2^3=4^2$

پیشاپیش از توجه دوستان سپاسگزارم.

3 پاسخ

+2 امتیاز
توسط matt (390 امتیاز)
انتخاب شده توسط ناصر آهنگرپور
 
بهترین پاسخ

هر سه تایی به این حالت پاسخ معادله است.

${a,b,c} = {xz, yz, z^2}$

که با قرار دادن در معادله به راحتی اثبات میشود.

$x^3z^3+y^3z^3=z^4$

$ \Rightarrow x^3+y^3=z$

با انتخاب مقادیر دلخواه برای $x$ و $y$ یک مقدار یکتا برای $z$ بدست می‌آید که لزوما نیازی به طبیعی بودن مقادیر نیست. برای مثال در مثالی که خودتان در سوال مطرح کردید. با این مقادیر میتوان بدست آورد.

${x,y,z} = {\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}}$

توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@matt : با درود به دوست گرامی. از صرف وقت گرانبهایتان برای پاسخگویی بینهایت ممنونم. پاسختان قابل تقدیر و توجهه. منتظر پاسخهای دیگر خواهم ماند تا بهترین را انتخاب کنم. تندرست و سرافراز باشید.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@matt : با درود مجدد به دوست گرامی . اینکه نوشتید با هر $x,y,z$ دلخواه صحیح نیست. زیرا با انتخاب عدد $2$ برای همه آنها بدست میاد. $4^3+4^3=2^4$ که بوضوح صحیح نیست. پارامترها باید بگونه‌ای باشند که انتخاب اعداد اختیاری باشند. با اینحال تلاشتون قابل تقدیره.
توسط matt (390 امتیاز)
+2
@ناصر آهنگپور

سلام. منظور بنده مقدار دلخواه برای $x$ و $y$ یک مقدار یکتا برای $z$ میدهد بایستی به صورتی مینوشتم که باعث شبهه نشود. متن جواب اصلاح گردید
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
+1
@matt : با تشکر از همراهی خوبتان. آیا میتوانید منظورتان را با یک مثال متفاوت از مثال بنده بیان کنید؟ و آیا همه جوابهای ممکن را میتوان با پاسخ شما بدست آورد؟ بنده بدنبال پارامترهای طبیعی هستم. با سپاس از پیگیری خوبتون.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
+1
@matt : با درود مجدد. ضرایب پارامترها هر عدد حقیقی میتوانند باشند. ولی پارامترها در معادلات دیوفانتی بهتر است طبیعی باشند.
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
+2
راه حل  @matt درسته مثلا با انتخاب x=y=1 مقدار z=2 بدست می آید بنابراین a=b=2  و c=4 جواب مسئله است.
یا با انتخاب x=1 و y=2 مقدار z=9 بدست می آید در نتیجه a=9  و b=18 و c=81 جواب دیگه مسئله می باشه
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@amir7788 : توضیح شما کاملتر بود. پس ابتدا با $x,y \in N$ دلخواه، $z \in N$ را با فرمول زیر بدست می‌آوریم.
$x^3+y^3=z$
و سپس در فرمول زیر قرار میدهیم.
$(xz)^3+(yz)^3=(z^2)^2$
راه حل هوشمندانه‌ایست. 1+
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
+1
@matt : با درود به دوست گرامی. راهنمایی استاد @amir7788 راه حل خوبتان را بهتر بیان کرد. با تبریک به راه حل هوشمندانه تان، پس وپیش نوشتن استدلال مخاطب را دچار گیجی میکند. با راهنمایی استاد و بدون دخالت دادن اعداد غیرطبیعی پاسختان را کامل کنید. 1+
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+2
@amir7788 و @matt : با درود و تشکر از هردو دوست گرامی و دیدگاه مفید استاد @amir7788 . درواقع میتوان همه را یکپارچه کرد و به اتحاد زیر تبدیل کرد.

$(x(x^3+y^3))^3+(y(x^3+y^3))^3=((x^3+y^3)^2)^2$
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
+2
با راه حل @matt متوجه می شویم که معادله بی نهایت جواب در N دارد، اما سوالی که منو درگیر خودش کرد این است که این جواب تمام جوابهای معادله نمی باشه، چگونه می توان تمام جوابهای در N پیدا کرد؟
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
+1
@amir7788 : کاملاً درسته. چون مثال wolfram alpha از این اتحاد بدست میاد ولی مثال بنده از این اتحاد با مقادیر $N$ بدست نمیاد. من هم درگیر همین مسئله هستم. 1+
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
+2
@amir7788 : ولی تجربه قبلی ثابت کرده که با همکاری میتوانیم راه حل کلی را بیابیم.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
+1
@amir7788 : با درود بر دوست و استاد همراه خوب همیشگی. کتابی درباره تئوری اعداد در حد کارشناسی ارشد و دکترا یافته‌ام که مسئله مندرج در این پست را بطور کامل حل کرده است. البته اثبات طولانی دارد که سعی میکنم بطور خلاصه (بدون اثبات) با ذکر مرجع بیان کنم. علاقمندان میتوانند با مراجعه به مرجع مذکور اثبات حل این معادله و مطالب جالب دیگر را ببینند.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
@matt و @amir7788 : با درود مجدد به دوستان گرامی. سؤالی پیش میاد مبنی بر اینکه آیا با $(a,b)=1$ نیز جوابی جداگانه میتوان برای این سؤال یافت؟ بنظر میاد جواب این سؤال در مرجعی است که در پاسخ بنده به آن اشاره شد.
+1 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

با درود بر همراهان گرامی. با پارامترهای $s,t \in Z$ حل کامل معادله دیوفانتی $x^3+y^3=z^2$ در سه دسته بقرار زیر است.

$x=s^4+8st^3$

$y=4t^4-4s^3t$

$z=s^6-20s^3t^3-8t^6$

$ \Longrightarrow (s^4+8st^3)^3+(4t^4-4s^3t)^3=(s^6-20s^3t^3-8t^6)^2$


$x=s^4-4ts^3-6t^2s^2-4t^3s+t^4$

$y=2(s^4+2ts^3+2t^3s+t^4)$

$z=3(s-t)(s+t)(s^4+2s^3t+6s^2t^2+2st^3+t^4)$

$ \Longrightarrow (s^4-4ts^3-6t^2s^2-4t^3s+t^4)^3+(2(s^4+2ts^3+2t^3s+t^4))^3=(3(s-t)(s+t)(s^4+2s^3t+6s^2t^2+2st^3+t^4))^2$


$x=-3s^4+6t^2s^2+t^4$

$y=3s^4+6t^2s^2-t^4$

$z=6st(3s^4+t^4)$

$ \Longrightarrow(-3s^4+6t^2s^2+t^4)^3+(3s^4+6t^2s^2-t^4)^3=(6st(3s^4+t^4))^2$

طبیعی است اگر در سمت چپ، پرانتزی منفی شد، با تعویض مقادیر $s,t$ میتوان آنرا مثبت کرد. در سمت راست چون توان زوج است، منفی شدن داخل پرانتز اهمیتی ندارد.


مرجع: جلد دوم کتاب Number theory با عنوان Analytic and modern tools تألیف Henri Cohen نشر Springer سال $2007$ بخش $14.3.1$ صفحه $467$

لازم بذکر است که متأسفانه این کتاب دوجلدی با ارزش ترجمه‌ای به فارسی ندارد یا حداقل بنده از آن بی‌خبرم.

توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
+1
ببخشید برایم دو سوال  مطرح  استت، اولا چگونه این جوابها بدست آمد دوما از کجا می توان مطمئن باشیم تمام جوابها در همین سه دسته قرار می گیره؟
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
@amir7788 : با درود به دوست و استاد عزیز. این جوابها با روشهای کاملاً تحلیلی در مرجع مذکور آمده و در سطح کارشناسی ارشد و دکتراست. برهان چند صفحه‌ای داره که از گنجایش این پست خارجه و نمیتوان در اینجا ذکر کرد. از طرف دیگر حق copyright اجازه ترجمه به من رو نمیده وگرنه ترجمه‌اش برایم چندان سخت نیست. ولی اگر اصل کتاب را بصورت pdf گیر بیاورید، میتوانید روشهای تحلیلی آن را مشاهده کنید که بدون نقص است. 1+
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@amir7788 : با درود مجدد. هم اکنون با تایپ سؤال زیر در گوگل سایتهای زیادی با فرمولهای متفاوت را دیدم. برای تنوع بد نیست شما هم سری به این سایتها بزنید. ولی هیچکدام مانند مرجع معرفی شده برهان کامل ارائه نمیدهند. شاید با ابتکار فکری که از شما سراغ دارم ، بتوانید برای یکی از آنها برهان بیاورید.
?what is the solution of a^3+b^3=c^2 in integers
+1 امتیاز
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

اگر $(a, b, c) $ جواب معادله باشه آنگاه برای هر n طبیعی $(an^2, bn^2, cn^3) $ نیز جواب معادله می باشه از آنجا که به دو جواب در صورت سوال اشاره شد پس با این روش برای هر کدام یه دسته جواب می توان پیدا کرد. یعنی $$(1,2,3) \Rightarrow (n^2, 2n^2, 3n^3) $$ برای هر n یه دسته جواب می باشه $$(2,2,4) \Rightarrow (2n^2, 2n^2, 4n^3) $$ برای هر n یه دسته جواب دیگر می باشد.

توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
@amir7788 : این پاسخ هم در نوع خودش ابتکار خوبیست. تنها عیبی که دارد متکی به یک جواب اولیه است که بدون آن کاربردی محسوب نمیشه ولی ازنظر تئوری نکته جالبی است. 1+

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...