با فرض طبیعی بودن همه متغیرها ثابت کنید عبارت $(a^2+b^2+c^2)^2$ را نمیتوان بصورت $4^h(8k+7)$ نوشت.

Question

با درود به همراهان گرامی. انگیزه سؤال این است که مرجع مذکور در ذیل میگوید هر عددی که بشکل $4^h(8k+7)$ نباشد، میتوان آنرا بصورت مجموع سه مربع کامل نوشت. از طرف دیگر داریم.

$$(a^2+b^2+c^2)^2=(a^2-b^2+c^2)^2+(2ab)^2+(2bc)^2$$

حال چگونه ثابت کنیم که عبارت سمت چپ معادله فوق را نمیتوان بشکل $4^h(8k+7)$ نوشت؟ ناگفته نماند که اثبات معادله فوق توسط استاد گرامی @fardina در پست زیر آمده است.

https://math.irancircle.com/26607

با سپاس از توجه همراهان گرامی.

Comments

به نظرم واضح است چون باقیمانده مربع کامل هر عدد بر 8 برابر 0 یا 1 یا 4 می باشد. حتی 7 به 2 یا3 یا5یا6 می توان تغییر  داد.

---

@amir7788 : با درود فراوان. بخش اول دیدگاه اخیرتان کاملاً صحیح است ولی $7$ داخل پرانتز قابل تغییر نیست. زیرا برای مثال معنایش این میشود که هر عددی بشکل $4^k(8n+3)$ نباشد، میتوان آنرا بصورت مجموع سه مربع نوشت. حال چون $11$ را میتوان بشکل فوق نوشت، نباید مجموع سه مربع باشد ولی هست.
$11=3^2+1^2+1^2$

---

@ناصر آهنگرپور، ببخشید اصلا کاری به اتحاد شما ندارم (متوجه مثال شما هم نشدم) اصل سوال واضح است چون باقیمانده مربع کامل هرعددی بر 8 برابر 0یا1 یا4 می باشه  در این صورت به فرم $4^h(8k+7)$ یا مواردی که اشاره شد، نیست.

---

@amir7788 : با درود و عرض ادب. کاملاً حق با شماست. فقط نمیدونم منظورتان از تغییر ۷ به عددی دیگر مربوط به حکم لاگرانژ بوده یا نه. چون ۷ دیگری در سوالم نیافتم، دیدگاه قبلی‌ام را نوشتم. استدلالتان قابل انکار نیست و صحیح است. ممنون از همراهی خوبتان.

---

عدد7 در اصل سوال می باشه..کلا با اصل سوال کار دارم کاری به اتحاد یا لاگرانژ ندارم.