به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
426 بازدید
در دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (2,183 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

با درود به همراهان گرامی. انگیزه سؤال این است که مرجع مذکور در ذیل میگوید هر عددی که بشکل $4^h(8k+7)$ نباشد، میتوان آنرا بصورت مجموع سه مربع کامل نوشت. از طرف دیگر داریم.

$$(a^2+b^2+c^2)^2=(a^2-b^2+c^2)^2+(2ab)^2+(2bc)^2$$

حال چگونه ثابت کنیم که عبارت سمت چپ معادله فوق را نمیتوان بشکل $4^h(8k+7)$ نوشت؟ ناگفته نماند که اثبات معادله فوق توسط استاد گرامی @fardina در پست زیر آمده است.

https://math.irancircle.com/26607

با سپاس از توجه همراهان گرامی.

مرجع: نظریه اعداد - تألیف Terence Hugh Jackson - ترجمه اکبر حسنی - مرکز نشر دانشگاهی - صفحه $82-83$
توسط amir7788 (2,972 امتیاز)
+1
عدد7 در اصل سوال می باشه..کلا با اصل سوال کار دارم کاری به اتحاد یا لاگرانژ ندارم.
توسط amir7788 (2,972 امتیاز)
+1
@ناصر آهنگرپور، استاد بزرگوار حق با شماست بنظر خیلی کار داره نمی توان به راحتی ازش عبور کرد. سوالات عالی می باشه
توسط ناصر آهنگرپور (2,183 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@amir7788 : با درود به استاد گرامی. قسمت اول دیدگاه دومتان کاملاً صحیح است. اگر از برهان خلف استفاده کنیم و فرض کنیم $\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4^k(8n+7)$ ، چون $4^k$ همیشه مربع کامل است، $8n+7$ هم باید مربع کامل باشد تا حاصلضربشان مربع سمت چپ معادله شود. ولی همانطور که بدرستی اشاره داشتید، $8n+7$ نمیتواند مربع کامل باشد زیرا در تقسیم هر مربعی بر $8$ ، باقیمانده اش 0 یا 1 یا 4 است و نه 7. پس اثبات طرح سؤال برقرار است و پاسخ سؤال هم همین است که در دیدگاه دومتان اشاره کردید. همراهی خوبتان بسیار ارزشمند است.
توسط ناصر آهنگرپور (2,183 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@amir7788 : با درود به دوست و استاد گرامی. درواقع اگر بخواهیم گزاره منفی را از این سؤال برداریم، صورت مسئله این میشود. هر عددی بشکل $4^k(8n+m)$ که درآن $m=0,1,2,3,4,5,6$ باشد، آن عدد را میتوان بصورت مجموع سه مربع نمایش داد. بطور مثال با $k=n=0$ و مقادیر فوق برای $m$ داریم.
$$0=0^2+0^2+0^2$$
$$1=1^2+0^2+0^2$$
$$2=1^2+1^2+0^2$$
$$3=1^2+1^2+1^2$$
$$4=2^2+0^2+0^2$$
$$5=1^2+2^2+0^2$$
$$6=2^2+1^2+1^2$$
توسط قاسم شبرنگ (2,545 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ
سلام.
آنچه را که شما مطرح کرده اید در واقع یگ گزاره شرطی دوطرفه است و به قضیه (مجموع سه مربع لژاندر) مشهور است.

یک طرف آن ساده و اثباتی کوتاه دارد.اما طرف دوم که سوال شماست خیلی طولانیست.

شما می توانید برای اثبات به لینک های  زیر ماجعه فرمائید:

http://maths.nju.edu.cn/~zwsun/Three-Square-Theorem.pdf

https://arxiv.org/pdf/2101.01567.pdf

پاسخ شما


نام شما برای نمایش - اختیاری
حریم شخصی : آدرس ایمیل شما محفوظ میماند و برای استفاده های تجاری و تبلیغاتی به کار نمی رود
کد امنیتی:
حاصلجمع 7 و 4 چقدر است؟(پاسخ حروفی)
برای جلوگیری از این تایید در آینده, لطفا وارد شده یا ثبت نام کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...