با فرض طبیعی بودن همه متغیرها ثابت کنید عبارت $(a^2+b^2+c^2)^2$ را نمیتوان بصورت $4^h(8k+7)$ نوشت.

Question

با درود به همراهان گرامی. انگیزه سؤال این است که مرجع مذکور در ذیل میگوید هر عددی که بشکل $4^h(8k+7)$ نباشد، میتوان آنرا بصورت مجموع سه مربع کامل نوشت. از طرف دیگر داریم.

$$(a^2+b^2+c^2)^2=(a^2-b^2+c^2)^2+(2ab)^2+(2bc)^2$$

حال چگونه ثابت کنیم که عبارت سمت چپ معادله فوق را نمیتوان بشکل $4^h(8k+7)$ نوشت؟ ناگفته نماند که اثبات معادله فوق توسط استاد گرامی @fardina در پست زیر آمده است.

https://math.irancircle.com/26607

با سپاس از توجه همراهان گرامی.

Comments

@ناصر آهنگرپور، درود بر شما. مطمن هستید که عبارت زیر درسته ؟
 «هر عددی که بشکل $4^h(8k+7)$ نباشد، میتوان آنرا بصورت مجموع سه مربع کامل نوشت»

---

@amir7788 : با درود و عرض ادب. بله دقیقاً درست است. این را هم اضافه کرده که $h,k$ میتوانند اعداد حسابی باشند. اگر هردو را صفر بگیریم، $7$ میشود که بهیچوجه نمیتوان آنرا بصورت مجموع سه مربع نمایش داد. البته این حکم اجازه استفاده از عدد $0$ بعنوان پایه را میدهد. مثلاً
$$10=3^2+1^2+0^2$$
 این حکم توسط لژاندر در سال $1798$ میلادی ثابت شده است. ضمناً برای اطلاعات بیشتر گاوس ثابت کرده که هر عدد بشکل $8n+3$ را میتوان بصورت مجموع سه مربع نمایش داد. بعنوان مثال با $n=1$ داریم
$$11=1^2+1^2+3^2$$
 ممنون از همراهی خوبتون.

---

به نظرم واضح است چون باقیمانده مربع کامل هر عدد بر 8 برابر 0 یا 1 یا 4 می باشد. حتی 7 به 2 یا3 یا5یا6 می توان تغییر  داد.

---

@amir7788 : با درود فراوان. بخش اول دیدگاه اخیرتان کاملاً صحیح است ولی $7$ داخل پرانتز قابل تغییر نیست. زیرا برای مثال معنایش این میشود که هر عددی بشکل $4^k(8n+3)$ نباشد، میتوان آنرا بصورت مجموع سه مربع نوشت. حال چون $11$ را میتوان بشکل فوق نوشت، نباید مجموع سه مربع باشد ولی هست.
$11=3^2+1^2+1^2$

---

@ناصر آهنگرپور، ببخشید اصلا کاری به اتحاد شما ندارم (متوجه مثال شما هم نشدم) اصل سوال واضح است چون باقیمانده مربع کامل هرعددی بر 8 برابر 0یا1 یا4 می باشه  در این صورت به فرم $4^h(8k+7)$ یا مواردی که اشاره شد، نیست.

---

@amir7788 : با درود و عرض ادب. کاملاً حق با شماست. فقط نمیدونم منظورتان از تغییر ۷ به عددی دیگر مربوط به حکم لاگرانژ بوده یا نه. چون ۷ دیگری در سوالم نیافتم، دیدگاه قبلی‌ام را نوشتم. استدلالتان قابل انکار نیست و صحیح است. ممنون از همراهی خوبتان.

---

عدد7 در اصل سوال می باشه..کلا با اصل سوال کار دارم کاری به اتحاد یا لاگرانژ ندارم.

---

@ناصر آهنگرپور، استاد بزرگوار حق با شماست بنظر خیلی کار داره نمی توان به راحتی ازش عبور کرد. سوالات عالی می باشه

---

@amir7788 : با درود به استاد گرامی. قسمت اول دیدگاه دومتان کاملاً صحیح است. اگر از برهان خلف استفاده کنیم و فرض کنیم $\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4^k(8n+7)$ ، چون $4^k$ همیشه مربع کامل است، $8n+7$ هم باید مربع کامل باشد تا حاصلضربشان مربع سمت چپ معادله شود. ولی همانطور که بدرستی اشاره داشتید، $8n+7$ نمیتواند مربع کامل باشد زیرا در تقسیم هر مربعی بر $8$ ، باقیمانده اش 0 یا 1 یا 4 است و نه 7. پس اثبات طرح سؤال برقرار است و پاسخ سؤال هم همین است که در دیدگاه دومتان اشاره کردید. همراهی خوبتان بسیار ارزشمند است.

---

@amir7788 : با درود به دوست و استاد گرامی. درواقع اگر بخواهیم گزاره منفی را از این سؤال برداریم، صورت مسئله این میشود. هر عددی بشکل $4^k(8n+m)$ که درآن $m=0,1,2,3,4,5,6$ باشد، آن عدد را میتوان بصورت مجموع سه مربع نمایش داد. بطور مثال با $k=n=0$ و مقادیر فوق برای $m$ داریم.
$$0=0^2+0^2+0^2$$
$$1=1^2+0^2+0^2$$
$$2=1^2+1^2+0^2$$
$$3=1^2+1^2+1^2$$
$$4=2^2+0^2+0^2$$
$$5=1^2+2^2+0^2$$
$$6=2^2+1^2+1^2$$

---

سلام.
آنچه را که شما مطرح کرده اید در واقع یگ گزاره شرطی دوطرفه است و به قضیه (مجموع سه مربع لژاندر) مشهور است.

یک طرف آن ساده و اثباتی کوتاه دارد.اما طرف دوم که سوال شماست خیلی طولانیست.

شما می توانید برای اثبات به لینک های  زیر ماجعه فرمائید:

http://maths.nju.edu.cn/~zwsun/Three-Square-Theorem.pdf

https://arxiv.org/pdf/2101.01567.pdf