ثابت کنید با $a \in \mathbb{N}$ ، عبارت $3a^2+6a+5$ مجموع سه مربع است و بنابراین طبق حکم لژاندر نمیتوان آنرا بصورت $4^k(8n+7)$ نوشت.

Question

با درود به همراهان گرامی. لژاندر ثابت کرده هر عددی که بشکل $4^k(8n+7)$ نباشد، میتوان آنرا بصورت مجموع سه مربع نوشت. ثابت کنید با $a \in \mathbb{N}$ ، عبارت $3a^2+6a+5$ مجموع سه مربع است و بنابراین طبق حکم لژاندر نمیتوان آنرا بصورت $4^k(8n+7)$ نوشت. از توجه همراهان گرامی سپاسگزارم.

Answer 1

برای اینکه پیدا کنیم حاصل جمع کدام سه مربع $3a^2 + 6a +5$ می باشد به جمله آخر آن یعنی $5$ دقت می کنیم. باید به شکل جمع مربع سه عدد نوشته شود. چرا که جمله دوم عبارت هایی که به توان دو می رسند عدد می باشند. که تنها به شکل $5=0^2+1^2+2^2$ می باشد.

$a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^ 2=a^2 + a^2 +2a +1 + a^2 + 4a +4= 3a^2 + 6a +5$

Comments

@Elyas1 : بسیار عالی بود. آیا علت اینکه طبق حکم لژاندر نمیتوان آنرا بشکل $4^k(8n+7)$ نوشت، قابل توضیح است؟ از توجهتون سپاسگزارم. 1+

---

@ ناصر آهنگرپور فرض کنید که به شکل $4^k(8n+7)$ باشد. طبق حکم لژاندر نمی توان آن را به شکل مربع سه عدد نوشت که این با تساوی بالا در تضاد است. در نتیجه فرض ما باطل می شود.

---

@Elyas1 : بادرود مجدد. بسیار خوب. سؤال دیدگاه بنده دقیقاً همین است که چگونه حکم لژاندر را درمورد این سؤال ثابت کنیم؟ گمان من بر این است که باید همنهشت تک تک مربعات را در تقسیم بر حکم لژاندر بدست بیاوریم. چون $4^k$ همیشه مربع کامل است، باید $8n+7$ هم مربع کامل باشد، ولی هر مربع کاملی در تقسیم بر $8$ باقیمانده $0,1,4$ را دارد. مربع سه عدد متوالی نمیتواند باقیمانده یکسانی در تقسیم بر $8$ داشته باشد و هرکدام متناظر با یکی از باقیمانده های $0,1,4$ است و بنابراین مجموع مربع سه عدد متوالی در تقسیم بر $8$ همنهشت $0+1+4$ یعنی $5$ میشود و نه $7$ در حکم لژاندر. و نتیجه اینکه مجموع مربع سه عدد متوالی نمیتواند بشکل $4^k(8n+7)$ باشد. نمیدانم آیا این استدلال صحیح است یانه؟ با آرزوی توفیق و تندرستی.

---

@ناصر آهنگرپور استدلالی که بنده در دیدگاه آوردم چندان درست نبود. مطلبی که شما می فرمایید به نظرم درست است. شما نشان دادید که $a^2 +(a+1)^2 +(a+2)^2= 8t+5$ واین یعنی نمی تواند برابر با $4^k(8m+7)$ باشد چرا اگر مساوی باشند آنگاه $k=0$ و $8m+7 = 8t+5$ که نتیجه نادرست $8 | 2$ را می دهد.

---

@Elyas1 : با درود مجدد. متأسفانه دیدگاه قبلی بنده نیز چندان صحیح نیست. زیرا باقیمانده سه مربع متوالی در تقسیم بر $8$ میتواند بشکلهای زیر باشد.
$(1^2+2^2+3^2)(1+4+1);(3^2+4^2+5^2)(1+0+1);(2^2+3^2+4^2)(4+1+0);(4^2+5^2+6^2)(0+1+4)$
ولی نکته جالب این است که حتی اگر مجموع مربعات سه عدد تصادفی را هم انتخاب کنیم، در مورد باقیمانده‌هایشان در تقسیم بر $8$ ، یک فضای احتمال سه گزینه‌ای با امکان تکرار عناصر را خواهیم داشت. ولی در هیچ حالتی باقیمانده مجموع مربعات سه عدد دلخواه در تقسیم بر $8$ ، مساوی $7$ نخواهد شد. نتیجه اینکه مجموع مربعات سه عدد دلخواه هم نمیتواند بشکل $4^k(8n+7)$ باشد.