ثابت کنید که به ازای هیچ عدد صحیح $a$ای، $3a^2-1$ مربع کامل نمی شود.

Question

با سلام و درود، پرسش زیر را بخوانید.

ثابت کنید که $3a^2-1$ هرگز مربع کامل نیست زمانی که $a$ عددی صحیح است.

می دونم که در تقسیم بندی بر ۳ مربع اعداد صحیح به صورت 3k و 3k+1 هست.

من این طور نوشتم که:

$3k+1 = 3a² -1 \Longrightarrow 3(a² - k) =2 $

$3k = 3a² -1 \Longrightarrow 3(a² -k) =1$

فقط همین نوشتم. ممنون می شوم راهنمایی بفرمائید.

Comments

با سلام
3a^2 _ 3 + 2 = 3(a^2 _ 1) + 2 اگر a^2 _ 1 را k در نظر بگیریم،به شکل 3k + 2 خواهد بود

Answer 1

در روش شما در انتهای حالت اول تساوی زیر بدست می آید:

$3(a^2-k)=2 \Longrightarrow a^2-k= \frac{2}{3} $

اما این تساوی اشتباه است. زیرا $a^2,k$ اعداد صحیح اند.« صحیح بودن $a^2$ را در سوال ننوشتید.»

برای حالت دوم نیز داریم:

$3k=3a^2-1 \Longrightarrow 3(a^2-k)=1 \Longrightarrow (a^2-k)= \frac{1}{3} $

که این تساوی نیز نادرست است. لذا $3a^2-1$ به شکل $3k+2$ است.‌که اعداد به این شکل مربع کامل نیستند.

راه دیگری نیز می توان نوشت:

$3a^2-1 = 3a^2-1+3-3 = 3(a^2-1)+2 = 3t+2$

این عدد مربع کامل نیست.

Comments

@Elyas1 ممنون. متوجه شدم. فقط اینجا علاوه بر a² باید k  هم عدد صحیح باشه، درسته؟
ببخشید از روشی که من نوشتم هم میشه حل کرد؟

---

@M.SH بخش نخست پاسخ آقای @Elyas1 تکمیل روشی است که در متن پرسش نوشتید. در واقع تنها چیزی که در حل‌تان باقی مانده‌بود این بود که بگوئید هر دو حالت به تناقض برمی‌خورند که آقای @Elyas1 این تناقض را با تساوی عدد صحیح و ناصحیح برایتان تکمیل کردند. البته می‌توانید به جای تقسیم بر ۳ کردنِ دو طرف، پیمانه به ۳ بگیرید که سمت چپ صفر (به خاطر بخشپذیر بر ۳ بودن) و سمت راست ۱ و ۲ می‌شوند و دوباره تناقضی که می‌خواهید ایجاد می‌شود (که در واقع هم به نوعی با همان تناقضی که آقای @Elyas1 گرفتند یکسان است).

Answer 2

$ 3x^{2}-1=m^{2} \Rightarrow 3x^{2}=m^{2}+1 $

به معادله زیر توجه کنید:

$ 3x^{2}=m^{2}+1 $

می دانیم که $ m^{2}+1 $ اصلا بر 3 بخش پذیر نیست که بتوانیم آنرا به صورت $ 3x^2 $ در بیاوریم.

اثبات:

می دانیم $m^2$ را می توان به صورت 3k یا 3k+1 نوشت پس $m^2+1$ را به فرم های 3k+1 یا 3k+2 نوشت که هیچکدام بر 3 بخش پذیر نیست.

Comments

سلام. اگر m راباپیمانه  3 بسنجید،خواهید دید که مجذور m ، به صورت   3kیا3k+1 می‌شود.

---

@mort در بخش آخر پاسخ‌تان به‌جای «می‌دانیم $m^2$ را می‌توان به‌صورت $3k$ یا $3k+1$ نوشت»، بهتر است بنویسید «می‌دانیم که $m^2$ وقتی بر ۳ تقسیم می‌شود، باقی‌مانده‌ای مساوی ۰ یا ۱ دارد. پس $m^2+1$ باقی‌مانده‌ای مساوی ۱ یا ۲ دارد و در نتیجه بر ۳ بخش‌پذیر نیست».

همچنین برای اثبات بخش‌پذیر نبودن $m^2+1$ بر ۳، به‌زبان جبر و ریاضیات، می‌توانید بنویسید:

$$m\overset{3}{\equiv}0 \Rightarrow m^2\overset{3}{\equiv}0^2 \Rightarrow \boxed{m^2\overset{3}{\equiv}0}$$

$$m\overset{3}{\equiv}1 \Rightarrow m^2\overset{3}{\equiv}1^2 \Rightarrow \boxed{m^2\overset{3}{\equiv}1}$$

$$m\overset{3}{\equiv}2 \Rightarrow m^2\overset{3}{\equiv}4 \Rightarrow \boxed{m^2\overset{3}{\equiv}1}$$

$$m^2\overset{3}{\equiv}0  \Rightarrow \boxed{m^2+1\overset{3}{\equiv}1}$$

$$m^2\overset{3}{\equiv}1 \Rightarrow \boxed{m^2+1\overset{3}{\equiv}2}$$

$$\therefore 3\not \mid m^2+1$$

$$\blacksquare$$