Question

ثابت کنید که: مجموع مربع های دو عدد صحیح فرد نمی تواند مربع کامل باشد.

با سلام. من برای این به این صورت نوشتم که: $a=2k+1$ , $b=2m+1$ , $c=2n+1$

$(a²+b² \neg c²)$

$a²+b²=(2k+1)²+(2m+1)²= 4(k²+k+m²+m)+2= 2( 2(k²+k+m²+m)+1) = 2h$

که 2h هم عدد زوج هست. پس جمع دو تا عدد فرد یه عدد زوج میشه.

حالا اینجا چون که 2h جذر کامل نداره یعنی h شاید جذر کامل داشته باشه ولی جذر ۲ یه عدد صحیح نمیشه پس مربع دو عدد صحیح فرد، مربع کامل نیست. نمیدونم چیزی که نوشتم صحیح هست یا نه. ممنون میشم راهنماییم کنید.

Comments

@M.SH نقشِ $c$ در متن‌تان چیست؟ هیچ استفاده‌ای از آن نشده، بعلاوه اینکه جمع $a^2+b^2$ مربع نشود نیازی به فرد بودنِ $c$ ندارد، در پرسش نگفته است که ثابت کنید جمع مربع دو عدد فرد، مربع عدد فرد نمی‌شود، گفته‌است مربع نمی‌شود پس دلیلی ندارد که در حکم $c$ حتما به شکل $2n+1$ باشد.

---

@M.SH : با درود. اگر به پست زیر توجه کنید، می بینید که شرط اعداد اولیه فیثاغورثی این است که در جمع دو عدد فیثاغورثی مانند $a$ و $b$ یکی فرد و دیگری باید زوج باشد. حال جهت بدست آوردن حالتهای دیگر، این دو عدد را به هر عددی ضرب کنیم، حاصل یا دو عدد زوج میشود، یا یکی زوج و دیگری فرد و هیچگاه دو عدد فرد حاصل نمیشود.
https://math.irancircle.com/23634
با آرزوی موفقیت و تندرستی.

Answer 1

تا جایی که جمع مربع دو عدد فرد را نوشتید و گفتید زوج است درست رفته‌اید ولی بعدش را اشتباه گفته‌اید. عدد مربع زوج نداریم؟ برای نمونه ۴ مگر هم زوج و هم مربع نیست؟ ۴ را به شکل $2h$ می‌توانید بنویسیدش که $h=2$. نکته‌ای که از آن غافل شدید این است که در جمع مربع دو عددتان چیزی که $h$ نامیدید را نگاه کنید، فرد نیست؟ و نکته همین جا است. اگر $h$ فرد باشد یعنی عامل ۲ ندارد، پس توان عدد ۲ در تجزیهٔ $2h$ یا همان جمع مربع دو عدد فردتان دقیقا ۱ می‌شود. و به یاد آورید که یک عدد مربع کامل است اگر و تنها اگر تمام توان‌های ظاهرشده در تجزیه‌اش به شمارنده‌های اولش، زوج باشند. که خب اینجا ۱ زوج نیست.

Answer 2

پاسخ قبلی درست است، ولی می خواهم یک پاسخ کاملتر ارایه دهم: فرض کنید $a=2k+1$ و $b=2m+1$. در این صورت همانطور که در صورت سوال نوشته شده است $a^2+b^2=4k^2+4k+4m^2+4m+2=2(2(k^2+k+m^2+m)+1)$ قرار دهیم $l=k^2+k+m^2+m$. پس داریم $a^2+b^2=2(2l+1)$. به برهان خلف فرض کنیم $a^2+b^2=c^2$ مربع کامل باشد. پس $c^2=2(2l+1)$. در نتیجه $2|c^2$ (یعنی عدد 2، $c^2$ را می شمارد.) چون 2 اول است، پس $2|c$. یعنی $c$ زوج است. پس عدد طبیعی $n$ هست که $c=2n$. بنابراین $c^2=4n^2$ و در نتیجه $2(2l+1)=4n^2$، پس $2l+1=2n^2$ که یک تناقض است، زیرا $2l+1$ عددی فرد و $2n^2$ عددی زوج است و یک عدد نمی تواند همزمان زوج و فرد باشد. بنابراین فرض خلف باطل است و $a^2+b^2$ نمی تواند مربع کامل باشد.