به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
Visanil
+1 امتیاز
1,207 بازدید
در دانشگاه توسط M.SH (286 امتیاز)

ثابت کنید که: مجموع مربع های دو عدد صحیح فرد نمی تواند مربع کامل باشد.

با سلام. من برای این به این صورت نوشتم که: $a=2k+1$ , $b=2m+1$ , $c=2n+1$

$(a²+b² \neg c²)$

$a²+b²=(2k+1)²+(2m+1)²= 4(k²+k+m²+m)+2= 2( 2(k²+k+m²+m)+1) = 2h$

که 2h هم عدد زوج هست. پس جمع دو تا عدد فرد یه عدد زوج میشه.

حالا اینجا چون که 2h جذر کامل نداره یعنی h شاید جذر کامل داشته باشه ولی جذر ۲ یه عدد صحیح نمیشه پس مربع دو عدد صحیح فرد، مربع کامل نیست. نمیدونم چیزی که نوشتم صحیح هست یا نه. ممنون میشم راهنماییم کنید.

توسط AmirHosein (19,707 امتیاز)
+1
@M.SH نقشِ $c$ در متن‌تان چیست؟ هیچ استفاده‌ای از آن نشده، بعلاوه اینکه جمع $a^2+b^2$ مربع نشود نیازی به فرد بودنِ $c$ ندارد، در پرسش نگفته است که ثابت کنید جمع مربع دو عدد فرد، مربع عدد فرد نمی‌شود، گفته‌است مربع نمی‌شود پس دلیلی ندارد که در حکم $c$ حتما به شکل $2n+1$ باشد.
توسط ناصر آهنگرپور (2,222 امتیاز)
@M.SH : با درود. اگر به پست زیر توجه کنید، می بینید که شرط اعداد اولیه فیثاغورثی این است که در جمع دو عدد فیثاغورثی مانند $a$ و $b$ یکی فرد و دیگری باید زوج باشد. حال جهت بدست آوردن حالتهای دیگر، این دو عدد را به هر عددی ضرب کنیم، حاصل یا دو عدد زوج میشود، یا یکی زوج و دیگری فرد و هیچگاه دو عدد فرد حاصل نمیشود.
https://math.irancircle.com/23634
با آرزوی موفقیت و تندرستی.

2 پاسخ

+4 امتیاز
توسط AmirHosein (19,707 امتیاز)

تا جایی که جمع مربع دو عدد فرد را نوشتید و گفتید زوج است درست رفته‌اید ولی بعدش را اشتباه گفته‌اید. عدد مربع زوج نداریم؟ برای نمونه ۴ مگر هم زوج و هم مربع نیست؟ ۴ را به شکل $2h$ می‌توانید بنویسیدش که $h=2$. نکته‌ای که از آن غافل شدید این است که در جمع مربع دو عددتان چیزی که $h$ نامیدید را نگاه کنید، فرد نیست؟ و نکته همین جا است. اگر $h$ فرد باشد یعنی عامل ۲ ندارد، پس توان عدد ۲ در تجزیهٔ $2h$ یا همان جمع مربع دو عدد فردتان دقیقا ۱ می‌شود. و به یاد آورید که یک عدد مربع کامل است اگر و تنها اگر تمام توان‌های ظاهرشده در تجزیه‌اش به شمارنده‌های اولش، زوج باشند. که خب اینجا ۱ زوج نیست.

+2 امتیاز
توسط AbbasJ (364 امتیاز)

پاسخ قبلی درست است، ولی می خواهم یک پاسخ کاملتر ارایه دهم: فرض کنید $a=2k+1$ و $b=2m+1$. در این صورت همانطور که در صورت سوال نوشته شده است $a^2+b^2=4k^2+4k+4m^2+4m+2=2(2(k^2+k+m^2+m)+1)$ قرار دهیم $l=k^2+k+m^2+m$. پس داریم $a^2+b^2=2(2l+1)$. به برهان خلف فرض کنیم $a^2+b^2=c^2$ مربع کامل باشد. پس $c^2=2(2l+1)$. در نتیجه $2|c^2$ (یعنی عدد 2، $c^2$ را می شمارد.) چون 2 اول است، پس $2|c$. یعنی $c$ زوج است. پس عدد طبیعی $n$ هست که $c=2n$. بنابراین $c^2=4n^2$ و در نتیجه $2(2l+1)=4n^2$، پس $2l+1=2n^2$ که یک تناقض است، زیرا $2l+1$ عددی فرد و $2n^2$ عددی زوج است و یک عدد نمی تواند همزمان زوج و فرد باشد. بنابراین فرض خلف باطل است و $a^2+b^2$ نمی تواند مربع کامل باشد.

آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...