ثابت کنید هیچ عددی مانند $(...39)$ یا $(...71)$ یا $(...35)$ و غیره با دو رقم فرد آخر، مربع کامل نیست.

Question

با درود. ثابت کنید هیچ عددی با دو رقم فرد آخر، نمیتواند مربع کامل باشد. مانند $(...39)$ یا $(...71)$ یا $(...35)$ و غیره. این سؤال با دیدگاه خوب استاد گرامی @AmirHosein نسبت به پاسخ بنده در اینجا به ذهنم رسید. با سپاس از توجه همراهان گرامی.

Answer 1

پرسش قشنگی است و اینکه اشاره داشتید که احتمالا از اتحاد مربع بتوان استفاده کرد، نظر درستی است. یک عدد طبیعی را می‌توان به شکلِ $a(100)+b(10)+c$ نوشت که $b$ و $c$ عددهای یک رقمی یعنی ۰ و ۱ و ... و ۹ می‌توانند باشند ولی $a$ هر عدد حسابی (صفر یا طبیعی)ای می‌تواند باشد. اکنون این عدد را به توان دو می‌رسانیم.

$$a^2(10000)+ab(2000)+ac(200)+b^2(100)+bc(20)+c^2$$

رقم‌های یکان و دهگانِ این عدد تنها در قسمت‌های $2bc(10)+c^2$ ایجاد می‌شوند. $b$ و $c$ هر چه می‌خواهند باشند، یکانِ $2bc$ که می‌تواند سهمی در ایجاد دهگان عددمان داشته‌باشد، عددی زوج می‌شود. پس برای اینکه دهگان فرد شود باید یک عدد فرد از سمتِ $c^2$ به آن افزوده‌شود. پس باید از بین عددهای ۰ تا ۹ آنهایی را بیابیم که زمانی که به توان دو می‌رسند، دارای دهگانِ فرد باشند. گزینه‌های ممکن عبارت اند از ۴ و ۶. اما این دو به ما یکانِ زوج می‌دهند. این یعنی هیچ انتخابی برای $c$ نمی‌ماند. در نتیجه هیچ عدد طبیعی‌ای که توان دوی آن دارای هر دوی یکان و دهگانِ فرد باشد وجود ندارد.

اکنون اگر به دنبال تعمیم آن به این شکل هستید که برای $n\geq 2$، هیچ عدد مربعی دارای $n$ رقمِ سمت راست فرد نیست، به صورت بدیهی از همین حالت نتیجه می‌شود. چون برای داشتنِ $n$ رقمِ سمت راست که $n\geq 2$ باید یکان و دهگان هم فرد باشند که نمی‌شود.

Comments

@AmirHosein : با درود به استاد گرامی. بسیار عالی بود. از پاسخ خوبتان چنین بر میاد که تنها مربع اعداد مختوم به یکان زوج $0$ و $2$ و $8$ دارای دورقم آخر زوج هستند. زیرا با یکان زوج c=6 یا c=4 ، عدد فردی به رقم دهگان افزوده میشه که باعث میشه رقم دهگان فرد بشه. بنابراین میتوان پا را فراتر گذاشت و ثابت کرد که غیر از اعداد مختوم به $0$ و $2$ و $8$ ، مربع همه اعداد، دارای دورقم آخر غیرهمسان هستند. یعنی یکی زوج و دیگری فرد. بسیار عالی و آموزنده بود.

---

@ناصرـآهنگرپور درست است.