پرسش قشنگی است و اینکه اشاره داشتید که احتمالا از اتحاد مربع بتوان استفاده کرد، نظر درستی است. یک عدد طبیعی را میتوان به شکلِ $a(100)+b(10)+c$ نوشت که $b$ و $c$ عددهای یک رقمی یعنی ۰ و ۱ و ... و ۹ میتوانند باشند ولی $a$ هر عدد حسابی (صفر یا طبیعی)ای میتواند باشد. اکنون این عدد را به توان دو میرسانیم.
$$a^2(10000)+ab(2000)+ac(200)+b^2(100)+bc(20)+c^2$$
رقمهای یکان و دهگانِ این عدد تنها در قسمتهای $2bc(10)+c^2$ ایجاد میشوند. $b$ و $c$ هر چه میخواهند باشند، یکانِ $2bc$ که میتواند سهمی در ایجاد دهگان عددمان داشتهباشد، عددی زوج میشود. پس برای اینکه دهگان فرد شود باید یک عدد فرد از سمتِ $c^2$ به آن افزودهشود. پس باید از بین عددهای ۰ تا ۹ آنهایی را بیابیم که زمانی که به توان دو میرسند، دارای دهگانِ فرد باشند. گزینههای ممکن عبارت اند از ۴ و ۶. اما این دو به ما یکانِ زوج میدهند. این یعنی هیچ انتخابی برای $c$ نمیماند. در نتیجه هیچ عدد طبیعیای که توان دوی آن دارای هر دوی یکان و دهگانِ فرد باشد وجود ندارد.
اکنون اگر به دنبال تعمیم آن به این شکل هستید که برای $n\geq 2$، هیچ عدد مربعی دارای $n$ رقمِ سمت راست فرد نیست، به صورت بدیهی از همین حالت نتیجه میشود. چون برای داشتنِ $n$ رقمِ سمت راست که $n\geq 2$ باید یکان و دهگان هم فرد باشند که نمیشود.
