Question

ثابت کنید اگر $N$ عددی طبیعی و مربع کامل نباشد، آنگاه $\sqrt{N}$ گویا نیست‌.

شنیدم که می توان با لم اقلیدس اثبات کرد:

لم اقلیدس: اگر $p$ عددی اول باشد و $a,b$ اعداد طبیعی باشند و $p | ab$ آنگاه $p | a$ یا $p | b$.

تلاش انجام شده: از برهان خلف استفاده کردم. فرض کردم که $a,b$ از اعداد طبیعی داریم که $(a,b)=1$ است و $\sqrt{N} = \frac{a}{b}$ پس:

$\sqrt{N} = \frac{a}{b} \Longrightarrow b^2N=a^2$

چون $N$ اول نیست نمی دانم چه کار کنم.

البته اگر اساتید اثبات دیگری در نظر داشتید خیلی هم خوب می شود که قرار دهید ولی اثباتی که ذهن من را مشغول کرده است اثبات با لم اقلیدس است.

Answer 1

ابتدا اینکه فرض می‌کنم منظورتان $N$-ِ صحیح بوده‌است.

اگر $b$ عددی غیر از مثبت یا منفی یک باشد آنگاه دست‌کم یک شمارندهٔ اول دارد. به فرض $p$ عدد اولی باشد که $b$ را می‌شمارد. آنگاه به خاطر $b^2N=a^2$ باید $p$، عدد $a^2$، و در نتیجه $a$ را هم بشمارد که تناقض با نسبت به هم اول بودنشان دارد. در نتیجه $b$ باید ۱ یا $-1$ باشد. پس به این رسیدید که $N=\pm a^2$. که $-a^2$ را زیر جذر نمی‌گذارید (چون به اعداد مختلط در این پرسش کار ندارید). پس $N=a^2$ و یک عدد صحیح مربع کامل است. تنها جایی که لم اقلیدس با صورتی که نوشتید می‌تواند به کار بیاید برای رفتن از $p\mid a^2$ به $p\mid a$ است.

Answer 2

به نام خدا.

من یک راه دیگر در نظر دارم که شاید جالب باشد. برای همین در این جا قرار می دهم تا بقیه اساتید و دوستان بتوانند ببینند.

یک قضیه جالب در مورد چندجمله‌ای ها وجود دارد که می توانید اینجا آن را با اثباتش ببینید. از این قضیه می توان نتیجه گرفت که اگر $a_n$ برابر با یک باشد و چندجمله‌ای$f(x)$ دارای ریشه گویا $\alpha$ باشد، آنگاه$\alpha$ عددی صحیح است.

پس فرض می کنیم که $\sqrt{N} =a$ باشد که $a$ عددی گویای است. پس $N=a^2$ است. این یعنی $a$ یک ریشه گویای معادله $x^2-N=0$ است. اما با توجه به توضیحات و پست بالا باید $a$ عددی صحیح باشد. پس $N=a^2$ است که $a$ عددی صحیح است‌.