Question

اگر $n$ عددی طبیعی و مخالف یک باشد ثابت کنید $n^n-n^2+n-1$ بر $(n-1)^2$ بخشذیر است .

من عبارتو ساده کردم بدست اومد :

$$(n-1)(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^3+n^2+1)$$

یعنی اگه ثابت کنید $(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^3+n^2+1)$ بر $n-1$ بخشپذیره مسئله حل میشه.

Comments

فکر نکم عبارت ساده شده شما همیشه به $n-1$ بخشپذیر باشه. فرض کنید $n=3$

$3^2+3^2+1=19$

---

ببخشید دومی $n^{n-2}$ بود اشتباه نوشته بودم. ویرایش کردم .

Answer 1

اگر $n-1$ رو به اون عبارت اضافه کنیم هیچ تغییری تو باقی مانده ایجاد نمیشه (اگر بخشپذیر باشه پخشپذیر میمونه ) باید ثابت کنیم :

$n-1 \mid n^{n-1}+...+n$

از n فاکتور میگیریم . چون باقی مانده n بر n-1 برابر 1 است میشود آن را حذف کرد . دوباره عبارت را بعلاوه $n-1$ میکنیم داریم : $n^{n-2}...+2n$ دوباره از n فاکتور گرفته و ....

اگر به همین صورت پیش برویم به $n+n-2=2n-2$ میرسیم که واضح است بر $n-1$ بخشپذیر است .

(در هر مرحله بعد از تقسیم بر n قرینه توان جمله سمت چپ بعلاوه n-1 برابر است با جمله سمت راست پس برای n ، جمله سمت راست برابر n-2 است )