با درود. به شرط $n$ فرد اتحاد زیر را داریم.
$$1)3^n+1^n=(3+1)(3^{n-1}- 3^{n-2}+.....-3+1^{n-1})$$
پس با $n$ فرد رابطه $1$ بر $4$ بخشپذیر است. برای بخشپذیری رابطه $1$ بر $8$ با $n$ فرد، کافیست پرانتز دوم بر $2$ بخشپذیر باشد ولی چون تعداد فردی از جمع جبری اعداد فرد است، حاصل آن فرد خواهد بود که نمیتواند بر $2$ بخشپذیر باشد. پس با $n$ فرد، رابطه $1$ بر $8$ بخشپذیر نخواهد بود.
حال ببینیم با $n$ زوج چه وضعیتی در تقسیم بر $4$ و $8$ خواهیم داشت. برای $n$ زوج، بهتر است مسئله را بشکل زیر بازنویسی کنیم.
$$2)(4-1)^n+1^n$$
براحتی میتوان دید که با توان زوج، اگر پرانتز عبارت $2$ را بصورت بسط دوجمله ای نیوتون باز کنیم، همه جملات بر $4$ و $8$ بخشپذیرند بغیر از $-1$ که با توان زوج، علامتش مثبت میشود. حال میتوان دید که عبارت $2$ بشکل $8k+2$ در می آید که نه بر $4$ بخشپذیر است و نه بر $8$ .
نتیجه مطالب فوق اینکه عبارت سؤالتان با هیچ توانی بر $8$ بخشپذیر نیست. و به شرطی بر $4$ بخشپذیر است که $n$ فرد باشد.
با آرزوی موفقیت و تندرستی.
