ثابت کنید که اگر $k$ عددی طبیعی باشد، آنگاه $2^{2k}+2(2k)^2$ مربع کامل نخواهد شد.

Question

ثابت کنید که اگر $k$ عددی طبیعی باشد، آنگاه $y=2^{2k}+2(2k)^2$ مربع کامل نخواهد شد.

تلاش انجام شده: می‌دانیم $y=2(2^{2k-1}+4k^2)$. فکر کنم باید نشان داد که حداقل یک عامل داخل پرانتز توان فرد دارد.

Answer 1

فرض کنید $k$ به صورت $2^rs$ باشد که $r \geq 0$ و $s$ عددی فرد است. می‌توانید به صورت دستی چک کنید که اگر $r \leq 3$ و $s = 1$ باشد آنگاه حاصل عبارت صورت سوال مربع کامل نیست. پس فرض کنید $r \geq 4$ یا $s \geq 3$ است.

تعداد عامل های ۲ در عدد طبیعی دلخواه $a$ را با $||a||_2$ نشان می‌دهیم. می‌توان به سادگی نشان داد که تساوی زیر برای هر دو عدد طبیعی $a$ و $b$ برقرار است. $$||ab||_2 = ||a||_2 + ||b||_2$$ همچنین به سادگی می‌توان نشان داد که برای هر دو عدد طبیعی $a$ و $b$ که $||a||_2 \neq ||b||_2$ است، تساوی زیر برقرار است: $$||a+b||_2 = \min (||a||_2, ||b||_2)$$ حال به سوال اصلی باز می‌گردیم. ابتدا $k$ را با $2^rs$ جایگذاری می‌کنیم. $$2^{2^{r+1}s} + 2(2\times (2^rs))^2 = 2^{2^{r+1}s} + 2^{2r+3}s^2$$ فرض خلف کنید که عدد طبیعی $a$ وجود دارد که برای داریم: $$a^2 = 2^{2^{r+1}s} + 2^{2r+3}s^2$$ حال توجه کنید چون $s \geq 3$ یا $r \geq4$ همواره داریم: $$2^{r+1}s > 2r + 3$$ این موضوع را می‌توان به آسانی با استقرا ثابت کرد. حال داریم: $$||a^2||_2 = ||2^{2^{r+1}s} + 2^{2r+3}s^2||_2$$ $$\Longrightarrow 2||a||_2 = \min (||2^{2^{r+1}s}||_2, ||2^{2r+3}s^2||_2)$$ $$\Longrightarrow 2||a||_2 = \min (2^{r+1}s, 2r+3) = 2r + 3$$ اما این موضوع تناقض است، زیرا سمت راست فرد است و سمت چپ عددی زوج. پس چنین $a$یی وجود ندارد.