فرض کنید $k$ به صورت $2^rs$ باشد که
$r \geq 0$
و $s$ عددی فرد است. میتوانید به صورت دستی چک کنید که اگر
$r \leq 3$
و
$s = 1$
باشد آنگاه حاصل عبارت صورت سوال مربع کامل نیست. پس فرض کنید
$r \geq 4$
یا
$s \geq 3$
است.
تعداد عامل های ۲ در عدد طبیعی دلخواه $a$ را با
$||a||_2$
نشان میدهیم. میتوان به سادگی نشان داد که تساوی زیر برای هر دو عدد طبیعی $a$ و $b$ برقرار است.
$$||ab||_2 = ||a||_2 + ||b||_2$$
همچنین به سادگی میتوان نشان داد که برای هر دو عدد طبیعی $a$ و $b$ که
$||a||_2 \neq ||b||_2$
است، تساوی زیر برقرار است:
$$||a+b||_2 = \min (||a||_2, ||b||_2)$$
حال به سوال اصلی باز میگردیم. ابتدا $k$ را با $2^rs$ جایگذاری میکنیم.
$$2^{2^{r+1}s} + 2(2\times (2^rs))^2 = 2^{2^{r+1}s} + 2^{2r+3}s^2$$
فرض خلف کنید که عدد طبیعی $a$ وجود دارد که برای داریم:
$$a^2 = 2^{2^{r+1}s} + 2^{2r+3}s^2$$
حال توجه کنید چون
$s \geq 3$
یا
$r \geq4$
همواره داریم:
$$2^{r+1}s > 2r + 3$$
این موضوع را میتوان به آسانی با استقرا ثابت کرد. حال داریم:
$$||a^2||_2 = ||2^{2^{r+1}s} + 2^{2r+3}s^2||_2$$
$$\Longrightarrow 2||a||_2 = \min (||2^{2^{r+1}s}||_2, ||2^{2r+3}s^2||_2)$$
$$\Longrightarrow 2||a||_2 = \min (2^{r+1}s, 2r+3) = 2r + 3$$
اما این موضوع تناقض است، زیرا سمت راست فرد است و سمت چپ عددی زوج. پس چنین $a$یی وجود ندارد.
