به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
699 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

نشان دهید که اگر $n$ عددی طبیعی و زوج باشد، آنگاه باقیمانده تقسیم $2^n$ بر ۶ برابر با ۴ خواهد شد، یا به عبارتی دیگر $2^n=6k+4$.

4 پاسخ

+5 امتیاز
توسط good4us (7,311 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

گیریم $n=2t$ به ازای $t=1$ تساوی به صورت $ 2^2=6 \times 0+4 $ برقرار است

اگر فرض کنیم تساوی به ازای t درست باشد یعنی $ 2^{2t} =6k+4 $ اکنون حکم $ 2^{(2t+2)} =6k'+4 $ را ثابت می کنیم.

طرفین فرض را 4 ضرب می کنیم داریم $ 2^{(2t+2)} =6 \times (4k)+12+4 $ و

$ 2^{(2t+2)} =6(4k+2)+4 $ , $k'=4k+2$

+1 امتیاز
توسط Thepythn (61 امتیاز)

توضیحات تصویر

برای حل سوال هم میتوان از الگویابی در تشخیص باقی مانده توان های ۲ استفاده کرد هم استقرا به طوری که اثبات کنیم ۶ دو به توان ۲k منهای ۴ را عاد میکند بعد ثابت کنیم دو برابر ان منهای ۴ را هم عاد میکند:

توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
+1
برای اثبات استقرایی، استفاده از همنهشتی بسیار راحت تر است.
توسط Thepythn (61 امتیاز)
بله اون طوری هم امکان پذیره
توسط good4us (7,311 امتیاز)
+3
Thepythn@ باید پاسخ خودتان را تایپ ریاضی گنید. آموزش تایپ در سایت قرار داده شده است تلاش کنید.
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+2
@Thepythn از تصویر تنها برای قرار دادن شکل‌ها استفاده کنید. هر آنچه غیر از شکل است را تایپ کنید.
+1 امتیاز
توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1

تشکر بسیار از اساتید @good4ue و @Thepythn .

واضح است که به ازای $n=2$ ( اولین عدد زوج طبیعی) حکم بر قرار است و حال فرض می کنیم که برای $n=2t$ نیز برقرار است و حال اثبات می کنیم که برای t+1 نیز برقرار است:

$2^{2t} \equiv 4 (mod6)$

و می دانیم که:

$2^2 \equiv 4 (mod6)$

باضرب این دو همنهشتی در هم خواهیم داشت:

$2^{2(t+1)} \equiv 16 (mod6)$

که می دانیم باقیمانده تقسیم 16 بر 6 چهار می باشد. پس حکم ثابت شد:

$2^{2t+2} \equiv 4 (mod6)$

+1 امتیاز
توسط UnknownUser (1,608 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser

به نام خدا

با فرض طبیعی و زوج بودن $n$، باید ثابت کنیم که: $2^n\overset{6}{\equiv}4$. چون $n$ زوج است؛ پس می‌نویسیم: $n=2m$ (که $m$ عددی طبیعی است).

می‌دانیم که: $2^n\overset{2}{\equiv}0$ و همچنین $2^2\overset{3}{\equiv}1$. دو طرف رابطه را به توان $m$ می‌رسانیم. داریم: $2^{2m}\overset{3}{\equiv}1$. پس به نتایج زیر رسیدیم:

$$2^{n}\overset{2}{\equiv}0 \Rightarrow 2^{n}-2^{2}\overset{2}{\equiv}0 \Rightarrow 2^{n}\overset{2}{\equiv}4$$

$$2^{n}\overset{3}{\equiv}1 \Rightarrow 2^{n}\overset{3}{\equiv}4$$

در نهایت:

$$\left.\begin{array}{l} 2^{n}\overset{2}{\equiv}4\\ 2^{n}\overset{3}{\equiv}4 \end{array}\right\rbrace\Longrightarrow 2^{n}\overset{2\times 3}{\equiv}4 \Rightarrow 2^{n}\overset{6}{\equiv}4$$

پس حکم اثبات شد. $\blacksquare$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...