۳ عدد طبیعی $x$ و $y$ و $z$ داریم. اگر باقیماندهٔ تقسیم $x$ بر هر یک از $y$ و $z$ را بدانیم ولی نه خود $x$، باقیمانده بر $y\times z$ را بیابید.

Question

اگر باقیماندهٔ تقسیم عددی بر دو عدد دیگر را بدانیم، آیا می‌توانیم باقیماندهٔ تقسیمش بر حاصلضرب آن دو عدد را هم بیابیم. برای نمونه پرسش زیر را در نظر بگیرید.

اگر باقیمانده تقسیم عددی بر ۶ برابر ۵ باشد و باقیماندهٔ تقسیم همان عدد بر ۱۱ برابر ۷، آنگاه باقیماندهٔ تقسیم این عدد بر ۶۶ چند است؟

Answer 1

دریک راه حل اگر آن عدد را $a$بگیریم آنگاه: $a=6b+5 و a=11c+7$ که میتوان نوشت $ 6b+5=11c+7 \Rightarrow 6b-11c=2 , b= \frac{11c+2}{6} \Rightarrow b=c+\frac{5c+2}{6} $

در این معادله $c$ می تواند دنباله حسابی $2,8,14,...$ باقدر نسبت6و $b$ می تواند دنباله حسابی $4,15,26,...$باقدر نسبت11 باشد که به این ترتیب $a$ اعداد حسابی $29,95,161,...$باقدر نسبت 66 خواهند بود.

Comments

mahdiahmadileedari@ به زبان ساده تر برای بچه هایی با سطح پایین تر می توانید بگویید مضرب های طبیعی 6 بعلاوه5 و همینطور مضرب های طبیعی 11 بعلاوه7 را بنویسد اولین عدد مشترک یک پاسخ به این سوال می باشد که 29 است.

---

@mahdiahmadileedari و @AmirHosein : با درود به دانش پژوهان و اساتید محترم ریاضی. بزبان جبر ساده ترین و بهترین جواب را استاد عزیز @good4us ارائه دادند. بزبان همنهشتی در حالت کلی این مسئله را بدین شکل میتوان نوشت.

$mod(x,y)= a_{1}$

$mod(x,z)= a_{2} $

چون هنگهای $y و z$ در دو همنهشتی فوق متفاوتند، موضوع به قضیه باقیمانده چینی در مبحث دستگاههای همنهشتی مربوط میشود که در آن هنگهای $y و z$ باید نسبت به هم متباین (اول) باشند. با این قضیه میتوان دستگاه همنهشتی فوق را به هنگ $y \times z$ نیز حل کرد و ساده ترین توضیح را در مرجع زیر یافتم که با احترام به اساتید عزیز معرفی میکنم. در این کتاب بحالت کلی قضیه مذکور را اثبات کرده و سپس با مثالی ساده آنرا به تصویر کشیده است.

مرجع: گنجینه ای از تئوری اعداد، تألیف بهزاد صالحیان متی کلایی، نشر مهاجر، سال 1378، صفحات 63-64

---

عالی. سپاسگزارم

---

سپاس بیکران

---

mahdiahmadileedari@ مانند این کاری که بنده با گذاشتن (mahdiahmadileedari@) در ابتدای جمله انجام دادم بنویسید که مشخص شود خطاب به چه شخصی پیام داده اید و ضمنأ در بالای سایت به آن شخص رخدادی قرار داه می شود. باتشکر فراوان