فرض کنید عدد مطلوب برابر با n باشد. اینکه نصف آن مربع کامل شود یعنی k_1 ای باشد که \frac{n}{2}=k_1^2 و اینکه یک‌سوم آن مکعب کامل شود یعنی k_2 ای باشد که \frac{n}{3}=k_2^3. اکنون داریم:
n=2k_1^2=3k_2^3
پس ۲ باید
3k_2^3 را بشمارد ولی چون ۲ و ۳ نسبت به هم اول هستند پس
k_2^3 رامی‌شمارد، از جبر و احتمال سال سوم داریم که اگر عدد اولی توانی از یک عددی را بشمارد، باید خود آن عدد را نیز بشمارد پس ۲،
k_2 را می‌شمارد. پس
k_2' ای وجود دارد که
k_2=2k_2'. به روش مشابه ۳ باید
k_1 را بشمارد پس
k_1' ای وجود دارد که
k_1=3k_1'. اکنون در فرمول اصلی جایگذاری میکنیم داریم:
18(k_1')^2=24(k_2')^3
پس از ساده سازی داریم
3(k_1')^2=2^2(k_2')^3. و دوباره با استدلال مشابه داریم
k_2'=3k_2'' و
k_1'=2k_1''. پس از جایگذاری
3\cdot 2^2(k_1'')^2=2^2\cdot 3^3(k_2'')^3
در این مرحله از شر عامل ۲ رها می‌شویم و داریم
k_1''=3^2(k_2'')^3. پس
k_1''=3k_1'''. اکنون پس از جایگذاری داریم:
(k_1''')^2=(k_2'')^3
هر عددی که هم مکعب و هم مربع باشد کار را راه می‌اندازد. کوچکترین عدد طبیعی صادق در این ویژگی یک است. پس
k_1'''=\sqrt{1}=1 و
k_2''=\sqrt[3]{1}=1. اینک تنها کافیست با یکی از
k_1^iها یا
k_2^i جایگذاری برعکس بکنیم تا
n را بدست بیاوریم. برای نمونه با
k_1^iها برویم داریم:
n=2(3(2(3k_1''')))^2=2(18)^2=648
اگر توجه کنید داریم
648=2(18)^2 و
648=3(6)^3
همانطور که دیدید هیچ سختی‌ای در پرسش نیست. تنها نیاز دارد چیزی که پرسش گفته است را به زبان ریاضی بنویسید (یعنی دو خط نخست) و سپس از قوانین شمردن استفاده کنید.
