مجموع ارقام کوچکترین عدد طبیعی که وقتی آن را نصف کنیم مربع کامل می شود و اگر آن را بر ۳ تقسیم کنیم مکعب کامل می شود

Question

باسلام

مجموع ارقام کوچک‌ترین عدد طبیعی که وقتی آن را نصف کنیم مربع کامل می‌شود و اگر آن را بر ۳ تقسیم کنیم مکعب کامل می‌شود را می‌خواستم. با تشکر.

Answer 1

فرض کنید عدد مطلوب برابر با $n$ باشد. اینکه نصف آن مربع کامل شود یعنی $k_1$ ای باشد که $\frac{n}{2}=k_1^2$ و اینکه یک‌سوم آن مکعب کامل شود یعنی $k_2$ ای باشد که $\frac{n}{3}=k_2^3$. اکنون داریم: $$n=2k_1^2=3k_2^3$$ پس ۲ باید $3k_2^3$ را بشمارد ولی چون ۲ و ۳ نسبت به هم اول هستند پس $k_2^3$ رامی‌شمارد، از جبر و احتمال سال سوم داریم که اگر عدد اولی توانی از یک عددی را بشمارد، باید خود آن عدد را نیز بشمارد پس ۲، $k_2$ را می‌شمارد. پس $k_2'$ ای وجود دارد که $k_2=2k_2'$. به روش مشابه ۳ باید $k_1$ را بشمارد پس $k_1'$ ای وجود دارد که $k_1=3k_1'$. اکنون در فرمول اصلی جایگذاری می‌کنیم داریم: $$18(k_1')^2=24(k_2')^3$$ پس از ساده سازی داریم $3(k_1')^2=2^2(k_2')^3$. و دوباره با استدلال مشابه داریم $k_2'=3k_2''$ و $k_1'=2k_1''$. پس از جایگذاری $$3\cdot 2^2(k_1'')^2=2^2\cdot 3^3(k_2'')^3$$ در این مرحله از شر عامل ۲ رها می‌شویم و داریم $k_1''=3^2(k_2'')^3$. پس $k_1''=3k_1'''$. اکنون پس از جایگذاری داریم: $$(k_1''')^2=(k_2'')^3$$ هر عددی که هم مکعب و هم مربع باشد کار را راه می‌اندازد. کوچکترین عدد طبیعی صادق در این ویژگی یک است. پس $k_1'''=\sqrt{1}=1$ و $k_2''=\sqrt[3]{1}=1$. اینک تنها کافیست با یکی از $k_1^i$ها یا $k_2^i$ جایگذاری برعکس بکنیم تا $n$ را بدست بیاوریم. برای نمونه با $k_1^i$ها برویم داریم: $$n=2(3(2(3k_1''')))^2=2(18)^2=648$$ اگر توجه کنید داریم $648=2(18)^2$ و $648=3(6)^3$ همانطور که دیدید هیچ سختی‌ای در پرسش نیست. تنها نیاز دارد چیزی که پرسش گفته است را به زبان ریاضی بنویسید (یعنی دو خط نخست) و سپس از قوانین شمردن استفاده کنید.

Answer 2

با سلام و عرض ارادت ،حل بسیار سادست، فرض میکنیم عددمان k باشن در این صورت داریم: $k= 2 ^{ a_{1} }. 3^{ a_{2} } . p_{3} ^{ a_{3} }. .... . p_{n} ^{ a_{n} } $ میدانیم،

$ a_{1} -1$و$ a_{2} $و ....و $a_{n}$ همگی زوج اند ،چون گفته شده مربع کامل و از طرف دیگر میدانیم: $ a_{1} $و $ a_{2}-1 $و....و$ a_{n} $همگی عضو مجموعه اعدد به صورت$ 3m $ هستند پس: $ a_{1} = 6t+3$و$ a_{2} =6 t'+4 $که چون گفته شده کوچکترین عدد طبیعی ،پس حاصل: $81 \times 8$ خواهد بود.

Comments

سلام
ممنون
اما نفهمیدیم چطور حل کردین

---

مکعب کامل به صورت n^3 نوشته میشه که شما نوشتین سه به توان n!!!