Question

کوچک‌ترین عدد طبیعی $ n $ را طوری بیابید که اگر مجموعه $ \{1,2,...,n\} $ را به طور دلخواه به دو مجموعه‌ی جدا از هم افراز کنیم، یکی از مجموعه‌ها شامل $ 3 $ عضو متمایز باشد که حاصلضرب دوتای آنها برابر سومی شود.

Answer 1

ایده ای برای حل:

توجه کنید که حکم برای $n=1,2,3,4,5,6 $ درست نیست.مثلن:

{$1,2,3,4,5,6$}$=${$1,2,3,4,5$}$ \cup ${6}

به سادگی و با هزینه زمان می توان نشان داد حکم برای اعداد طبیعی کمتر از $96$ درست نیست.(من همه این موارد را آزمودم و در اینجا مجال ارائه نیست).فقط حالت $n=95$ را ارائه می دهم:

{$1,2,3,...,95$}$=${$1,2,3,4,5,7,9,48,49,...,95$}$ \cup${$6,8,10,11,...,47$}

حالا راه حل را برای $n \geq 96$ ارائه می دهم.قبل از هر چیز به اعداد $2,3 ,4,6,8,12,24,48,96$ توجه کنید:

فرض کنید مجموعه ما به $A,B$ دلخواه افراز شده باشد.اگر $2,4,8$ در یک مجموعه باشند حکم ثابت است.در غیر این صورت یک عضو در مجموعه و دو عضو در مجموعه دیگر.فرض کنید $2 \in A$ و $4,8 \in B$.حالا تکلیف عدد $3$ را روشن کنید.حالت اول اینه $3 \in A$ و حالت دوم اینه که $3 \in B$.حالا برید دنبال تکلیف عدد $6$.اینم به طریق مشابه دو حالت دارد.اگر در $A$ باشد حکم ثابت است.در حالتی که در $B$ است برید سراغ $12$.بعد از تکلیف $12$ برید سراغ $24$ یا $48$ یا $96$(بستگی دارد به شروع اولیه).

$ \Box $

Comments

با سلام
یه سوالی برام پیش اومد و اینکه چرا حکم برای n=6 نادرست است زیرا مثلا اگر مجموعه {1,2,3,4,5,6} را به دو مجموعه {1,2,3,4,6} و {5} افراز کنیم، در مجموعه {1,2,3,4,6} حاصلضرب ۲ و ۳ برابر ۶ میشود.

---

سوال گفته هر افراز دلخواه نه افرازی هست.من مثال نقص ارائه کرده ام.

---

آهان بله متوجه شدم حواسم نبود تشکر