Question

تمام اعداد طبیعی $m$ و $n$ را بیابید به‌طوری که $mn∣(2^{2^m}+1)(2^{2^n}+1)$.

درواقع یعنی $(2^{2^m}+1)(2^{2^n}+1)$ بر $mn$ بخش‌پذیر باشد.

من خودم نوشتم $(2^{2^m}+1)(2^{2^n}+1)\equiv 0\pmod {mn}$ و از اینجا جواب (1 و 1) واضحه ولی باقی جواب‌هاش رو نتونستم پیدا کنم.

البته جواب‌های این سؤال (1 و 1) و (1 و 5) و (5 و 1) هست ولی نمی‌دونم چجوری باید اثباتش کنم.

Answer 1

با درود به دوست گرامی. برای اینکه جوابهای کامل این مسئله را بیابیم، باید بدنبال اعداد اول $p$ باشیم بطوریکه

$I) p|(2^{2^p}+1)$

آنگاه حاصلضرب این نوع عبارات منظور شما را برآورده خواهد کرد. برای این منظور باید راهی بیابیم که عبارت پرانتز فوق را تجزیه کنیم تا شرایط تقسیمپذیری بر $p$ را بررسی کنیم. از اتحاد زیر استفاده میکنیم

$II) (2^{2^p}+1)=(2^{2^{p-1}}-\sqrt{2×2^{2^{p-1}}}+1)(2^{2^{p-1}}+\sqrt{2×2^{2^{p-1}}}+1)$

برای اینکه سمت چپ اتحاد تجزیه شود، باید عبارت زیر رادیکال در سمت راست مربع کامل باشد. ولی چون توان فردی از $2$ هست، عبارت زیر رادیکال نمیتواند مربع کامل باشد. تنها راه برای مربع کامل شدن عبارت زیر رادیکال این است که $p=1$ باشد. در این صورت اتحاد $II$ بشکل زیر در می‌آید.

$III) (2^{2^1}+1)=1×5$

چون با تساوی $III$ عوامل $p=1,5$ را در اختیار داریم، معلوم میشود که این نوع عبارات فقط میتوانند توان $p=1$ را اختیار کنند. تنها نکته اینکه اگر پرانتز دوم سؤالتان عدد $p=5$ را نیز میپذیرد، صرفاً جهت هماهنگی با مضرب $5$ در تساوی $III$ است وگرنه با $p=5$ عبارت پرانتز سمت چپ اتحاد $II$ به یکان $7$ ختم میشود که بر توان $p=5$ بخشپذیر نخواهد بود. پس جوابها همان است که خودتان نوشته اید. تندرست و موفق باشید.