چگونه می توان همنهشتی زیر را رد یا اثبات کرد؟ $$2^{p-2}+\bigg( \frac{p-1}{2} \bigg)\overset{p}{\equiv}0$$

Question

با فرض اینکه $p$ عددی اول و فرد است، چگونه می‌توان هم‌نهشتی زیر را رد یا اثبات کرد؟

$$2^{p-2}+\bigg( \frac{p-1}{2} \bigg)\overset{p}{\equiv}0$$

تلاش خودم به هیچ نتیجه‌ای نرسید.

Answer 1

طبق قضیۀ کوچک فرما داریم:

$$2^{p-1}\overset{p}{\equiv}1$$

بنابراین:

$$2^{p-1}+p-1\overset{p}{\equiv}0$$

حالا چون سمت چپ بر دو بخش‌پذیر است و داریم: $(2,p)=1$. سپس کافی است که طرفین رو بر دو تقسیم کنید.