اثبات کنید اگر $n\in\mathbb{Z}$ و $p$ عددی اول باشند، آنگاه $n^p+n(p-1)\overset{p}{\equiv}0$.

Question

با فرض اینکه $p$ عددی اول باشد و $n \in \mathbb{Z}$ اتحاد زیر را اثبات کنید: $$n^p+n(p-1) \equiv 0(mod \space p)$$

راه‌حل: اگر بخش سمت چپ اتحاد را باز کنیم خواهیم داشت: $$n^p+np-n \equiv 0(mod \space p)$$ همچنین در نظر داشته باشید که $$(a+b)mod \space c = (a \space mod \space c + b \space mod \space c)mod \space c $$ $$(a \cdot b)mod \space c = (a \space mod \space c \cdot b \space mod \space c)mod\space c $$ پس میتوان بخش سمت چپ اتحاد را ساده کرد به: $$n^p-n\equiv0(mod\space p) \Longleftrightarrow n^p \equiv n (mod\space p) $$ و این مسئله با استفاده از قضیه کوچک فرمات اثبات میشود.

مرجع: کتاب محافل ریاضی تجربه روس‌ها

این سوال موقع حل مسأله 17 فصل بخش‌پذیری و باقی‌مانده‌ها بخش دوم به ذهنم رسید

Answer 1

در پست پرسش‌تان مشخص نیست راهنمایی برای چه چیزی می‌خواهید یا سوالی که از دیگران دارید چیست. با توجه به نسخهٔ کنونی‌تان که ویرایش‌شده در ۲۳ تیر ۱۴۰۳ هست، تنها حدسی که می‌شود زد این است که احتمالا دلیلِ $n^p\overset{p}{\equiv}n$ را برای $n$-ِ دلخواه و $p$-ِ اول می‌خواهید. از جبر ۱ کارشناسی به یاد آورید که بنا به فضیهٔ لاگرانژ (یا نتیجهٔ قضیهٔ لاگرانژ) مرتبهٔ یک عضو از گروه، مرتبهٔ گروه را می‌شمارد. مجموعهٔ $\bar{\mathbb{Z}}_p$ منهای عضو صفر با عمل ضرب یک گروه تشکیل می‌دهد. این گروه $p-1$ عضو دارد که مرتبه‌اش می‌شود. اکنون اگر $n$ یک عضو از آن باشد یعنی عددی بین ۱ تا $p-1$ آنگاه مرتبه‌اش یعنی کوچکترین توان از آن که به عضو همانی که در اینجا ۱ است تبدیل شود. چون این مرتبه $p-1$ را می‌شمارد پس به طبع $n^{p-1}$ برابر با ۱ در این گروه می‌شود، یعنی همنهشت با ۱ می‌شود (یعنی باقیمانده‌اش در تقسیم بر $p$ برابر با ۱ می‌شود). پس برای یک عدد صحیح دلخواهِ $n$ دو حالت برمی‌داریم اگر مضربی از $p$ باشد آنگاه خودش و هر توانی‌اش نیز مضرب $p$ است و به صورت بدیهی خواهیم داشت $n^{p}\overset{p}{\equiv}n\overset{p}{\equiv}0$. اگر $n$ مضرب $p$ نباشد آنگاه آن را با باقیمانده‌اش بر $p$ جایگزین کنید. با توجه به قانون ضربی‌ای که در متن پرسش‌تان اشاره کردید کار با $n$-ِ اصلی یا $n$-ِ باقیمانده بر $p$ تفاوتی در پاسخ برای نتیجهٔ همنشهتی توان‌هایش نخواهد داشت. چون $n$ صفر نیست با توجه به نتیجه‌ای که از قضیهٔ لاگرانژ گرفتیم داریم $n^{p-1}\overset{p}{\equiv}1$. اکنون دو طرف را در $n$ ضرب می‌کنیم، داریم $n^p\overset{p}{\equiv}n$. و چون $n$ یا باید مضرب $p$ باشد یا نباشد (حالت سومی باقی نمی‌ماند)، برای هر $n$ای حکم ثابت شد.