به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+6 امتیاز
69 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Dana_Sotoudeh (2,092 امتیاز)

اگر $p$ عددی اول باشد و $x²-px-580p=0$ به طوری که $ x_1,x_2 \in Z $ باشد، آنگاه عدد $p$ برابر چقدر است؟

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط Elyas1 (4,212 امتیاز)
انتخاب شده توسط Dana_Sotoudeh
 
بهترین پاسخ

به نام خدا.

دلتا معادله را محاسبه می کنیم:

$ \Delta =p^2+4p(580)$

حال توجه کنید که عبارت زیر رادیکال باید تمام عوامل اولش توان زوج داشته باشند. پس:

$ \sqrt{ \Delta } = \sqrt{p(p+4×580)}$

توجه کنید که باید $p+4×580$ بر $p$ بخش پذیر باشد. اگر نباشد، آنگاه زیر رادیکال$p$ با توان فرد می ماند. پس:

$p | p+ 4×580 \Longrightarrow p | 4×580$

کافیست که عدد $4×580$ را به عوامل اولش تجزیه کنیم:

$4×580=2^4×5×29$

پس $p$ سه حالت دارد:

حالت اول$p=2$ باشد. در این صورت

$ \Delta = 4+8(580)=4644$

این عدد مربع هیچ عددی نیست.

اگر $p=5$ باشد:

$ \Delta =25+20(580)= 11625$

این عدد مربع هیچ عددی نیست.

اگر $p=29$ باشد:

$\Delta = 841+116(580)=68121=261^2$

پس $p=29$ است.

توسط Dana_Sotoudeh (2,092 امتیاز)
+3
اثباتتان بسیار کامل و زیباست.
سپاس

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...