اگر $p$ عددی اول باشد و $x²-px-580p$ به طوری که $ x_1,x_2 \in Z $ باشد، آنگاه عدد $p$ برابر چقدر است؟

Question

اگر $p$ عددی اول باشد و $x²-px-580p=0$ به طوری که $ x_1,x_2 \in Z $ باشد، آنگاه عدد $p$ برابر چقدر است؟

Answer 1

به نام خدا.

دلتا معادله را محاسبه می کنیم:

$ \Delta =p^2+4p(580)$

حال توجه کنید که عبارت زیر رادیکال باید تمام عوامل اولش توان زوج داشته باشند. پس:

$ \sqrt{ \Delta } = \sqrt{p(p+4×580)}$

توجه کنید که باید $p+4×580$ بر $p$ بخش پذیر باشد. اگر نباشد، آنگاه زیر رادیکال$p$ با توان فرد می ماند. پس:

$p | p+ 4×580 \Longrightarrow p | 4×580$

کافیست که عدد $4×580$ را به عوامل اولش تجزیه کنیم:

$4×580=2^4×5×29$

پس $p$ سه حالت دارد:

حالت اول$p=2$ باشد. در این صورت

$ \Delta = 4+8(580)=4644$

این عدد مربع هیچ عددی نیست.

اگر $p=5$ باشد:

$ \Delta =25+20(580)= 11625$

این عدد مربع هیچ عددی نیست.

اگر $p=29$ باشد:

$\Delta = 841+116(580)=68121=261^2$

پس $p=29$ است.

Comments

اثباتتان بسیار کامل و زیباست.
سپاس