اگر $n$ اول باشد آنگاه $2^{n-1}$ کوچکترین عدد با $n$ شمارنده است. چرا فرض $n$ اول باشد در این گزاره قرار داده شده است؟

Question

با سلام. جزوه‌ای رو چند روز پیش خوندم که نوشته بود اگر $n$ عددی اول باشد، برای بدست آوردن کوچکترین عددی که $n$ شمارنده دارد کافی است از این فرمول استفاده کنیم $2^{n-1} $.

می‌خواستم بدونم اگه $n$ مرکب باشه چه مشکلی به وجود میاد؟ مثال نقضی به ذهنم نرسید. اگر مثال نقضی هست که نشون بده برای $n$های مرکب جواب نمیده ممنون میشم راهنمایی بفرمایید.

Answer 1

اولا برای عدد $p_1^{ \alpha _1} \times ... \times p_t^{ \alpha _t} $ تعداد مقسوم علیه ها(شمارنده ها) برابر $(\alpha _1+1) \times ..(\alpha _t+1) $ است. ولی ما می خواهیم تعداد شمارنده عدد اول $ n $ باشد پس عدد باید به صورت $ p_1^{ n _1} $ باشد. برای اینکه کوچکترین باشد باید $p_1=2 $ باشد.

حال برای جواب سوالتون فرض کنید $n=10$ عدد $2^4 \times 3 $ و $ 2^9 $ هر دو 10 شمارنده دارند ولی $2^4 \times 3 $ کوچکتر است.

Comments

بسیار  بسیار سپاسگذار

---

خواهش میکنم
موفق باشید