کوچکترین بازه ای که در آن وجود اعداد اول ثابت شده، مربوط به کدام قضیه است؟

Question

با درود به همه دوستان و اساتید محترم. همانطور که میدانیم وجود حداقل یک عدد اول بین بازه $n^2$ و $(n+1)^2$ ثابت شده است. آیا در بازه ای کوتاهتر قضیه مشابهی وجود دارد؟ پیشاپیش از توجه دوستان سپاسگزارم.

Comments

@AmirHosein: ممنون از همراهی دوستانه تان. صفحه مذکور در دیدگاه خوبتان را ذخیره کردم تا بصورت آفلاین مطالعه کنم. سؤال اصلاح شد.

Answer 1

• 1صل برتران (برتراند): به ازای هر عدد طبیعی $n$، عدد اولی مانند $p$ وجود دارد به طوری که

  $$n< p \le 2n$$

  این اصل توسط چپیشف اثبات شد.

Comments

@ناصرـآهنگرپور بازهٔ آمده در پرسش $(n+1)^2-n^2=2n+1$ است در حالیکه بازهٔ آمده در این پاسخ $2n-n=n$ است.

---

ناصر آهنگر@ برای n ثابت  در نظر بگیرید نه اینکه برای سوال n را 3 انتخاب می کنید( در واقع این سومین بازه ای است و جود 3 عدد اول رانشان می دهد) و برای اصل برتران n را 9 انتخاب کنید. (در این حالت این نهمین بازه ای است)
ضمنا می توان نشان داد  بینn^2 و n^2 +2n
 نیز عدد اولی وجود دارد.

---

@amir7788 و @ناصرآهنگرپور قضیه چبیشف به شکل زیر نیز بیان می شود که برای $n$ های بزرگتر مساوی چهار، بازه های کوتاه تری را شامل می‌شود:

اگر $n$ عددی طبیعی و بزرگتر از سه باشد، عددی اول مانند $p$ وجود دارد که
$n<p<2n-2$

---

@AmirHosein و @amir7788 و @Elyas1 : ازهمراهی صمیمانه همه دوستان سپاسگزارم. بسیار آموزنده و دلگرم کننده بود.

---

@AmirHosein : با سپاس صمیمانه از راهنماییهای سودمندتان امرتان انجام شد.

Answer 2

با درود مجدد. بازه ای کوچکتر که دارای دستکم یک عدد اول است، را معرفی میکنم و نتیجه ای از اصل برتراند است که توسط آقای @amir7788 ارائه شد. بشرط $x \geq 48$ ، در بازه $x . . . \frac{9x}{8}$ حداقل یک عدد اول وجود دارد.

نقل از کتاب Prime Numbers_ The Most Mysterious Figures in Math تألیف David Wells نشر Wiley سال 2005 صفحه $21$

در ویکیپدیای فارسی بازه جدیدی از طرف پیر دوسارت (Pierre Dusart)، ریاضیدان فرانسوی معرفی شده است که بقرار زیر است. اگر $\pi(x)$ بیانگر تعداد اعداد اول تا $x$ و $\ln(x)$ بیانگر لگاریتم طبیعی $x$ باشد. رابطه زیر به ازای $x \geq 599$ برقرار است.

$$\frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}\right)< \pi(x)< \frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2.51}{(\ln x)^{2}}\right)$$

در ویکیپدیای انگلیسی همینطور برای $x > 1$ داریم:

$$\pi(x) \leq \frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2}{\log ^{2} x}+\frac{7.59}{\log ^{3} x}\right)$$

البته در صفحه $8$ مقاله‌ای که توسط خود وی (نوشته شده در سال ۲۰۱۰، پیوند به این گزارش در بخش منابع آمده‌است) این موضوع تحت عنوان زیر باصراحت کاملتر بیان شده.

smallest interval for containing primes

برای $x \geq 396738$ بین بازه زیر حداقل یک عدد اول وجود دارد.

$$x< p \leqslant x\left(1+\frac{1}{25 \ln ^{2} x}\right)$$

منابع

• https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function#Inequalities
• https://arxiv.org/abs/1002.0442

Comments

@AmirHosein و @Elyas1 و @amir7788 : با درود به دوستان و اساتید عزیز؛ کوچکترین بازه دارای دستکم یک عدد اول را معرفی میکنم و نتیجه ای از اصل برتراند است که توسط آقای @amir7788 ارائه شد.
بشرط $x \geq 48$ ، در بازه $x . . .  \frac{9x}{8}$ حداقل یک عدد اول وجود دارد.
نقل از کتاب Prime Numbers_ The Most Mysterious Figures in Math تألیف David Wells نشر Wiley سال 2005 صفحه $21$
با آرزوی موفقیت و تندرستی.

---

@ناصرـآهنگرپور بازه‌ای که در دیدگاه‌تان نوشتید را می‌توانید به متن پاسخ‌تان بیفزائید. ولی این بازهٔ جدید از بازهٔ قبلی که در متن پاسخ‌تان هست کوچکتر نمی‌شود. نسبتِ طول این بازهٔ جدید به خود عدد $x$ ثابت است، $\frac{1}{8}$. ولی نسبتِ یادشده برای بازهٔ قبلی‌تان در حال کوچک و کوچکتر شدن است.

---

@AmirHosein :
 با درود به استاد عزیز. اگر بازه مذکور را بشکل $\frac{8x}{8} . . .  \frac{9x}{8}$ بازنویسی کنیم، اختلاف این بازه  $\frac{x}{8}$ خواهد بود که بمراتب کوچکتر از $x$ مرتبط با اصل برتراند و یافته pierre dusart است. نمیدانم، اگر اشتباه میکنم. از راهنماییتون ممنون خواهم بود.

---

@ناصرـآهنگرپور به نظرتان $\frac{x}{25\ln^2(x)}$ از جایی به بعد از $\frac{x}{8}$ کوچکتر نمی‌شود؟

---

@AmirHosein : بی دقتی مرا ببخشید. کاملاً درسته. ممنون از همراهی صمیمانه شما.