با درود مجدد. بازه ای کوچکتر که دارای دستکم یک عدد اول است، را معرفی میکنم و نتیجه ای از اصل برتراند است که توسط آقای @amir7788 ارائه شد. بشرط $x \geq 48$ ، در بازه $x . . . \frac{9x}{8} $ حداقل یک عدد اول وجود دارد.
نقل از کتاب Prime Numbers_ The Most Mysterious Figures in Math تألیف David Wells نشر Wiley سال 2005 صفحه $21$
در ویکیپدیای فارسی بازه جدیدی از طرف پیر دوسارت (Pierre Dusart)، ریاضیدان فرانسوی معرفی شده است که بقرار زیر است. اگر $\pi(x) $ بیانگر تعداد اعداد اول تا $x$ و $\ln(x)$ بیانگر لگاریتم طبیعی $x$ باشد. رابطه زیر به ازای $x \geq 599$ برقرار است.
$$\frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}\right)<\pi(x)<\frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2.51}{(\ln x)^{2}}\right)$$
در ویکیپدیای انگلیسی همینطور برای $x > 1$ داریم:
$$\pi(x) \leq \frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2}{\log ^{2} x}+\frac{7.59}{\log ^{3} x}\right)$$
البته در صفحه $8$ مقالهای که توسط خود وی (نوشته شده در سال ۲۰۱۰، پیوند به این گزارش در بخش منابع آمدهاست) این موضوع تحت عنوان زیر باصراحت کاملتر بیان شده.
smallest interval for containing primes
برای $x \geq 396738$ بین بازه زیر حداقل یک عدد اول وجود دارد.
$$x<p \leqslant x\left(1+\frac{1}{25 \ln ^{2} x}\right)$$
منابع
