آیا واقعاً برای دنبالهٔ اعداد اول جملهٔ عمومی ای وجود ندارد؟

Question

با سلام و عرض ادب خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

می‌دانیم که اعداد اول دسته‌ای از اعداد طبیعی هستند که تنها بر خودشان و عدد $1$ بخش‌پذیر هستند، و به صورت مجموعه‌ای به صورت زیر هستند که از عدد $2$ شروع می‌شوند:

$${2,3,5,7,11,13,...}$$

اما آیا می‌توان برای اعداد اول یک جملهٔ عمومی نوشت؟ یا اگر نمی‌توان برای اعداد اول یک جملهٔ عمومی نوشت، می‌توان اثبات کرد که اعداد اول جملهٔ عمومی ندارند؟

Comments

در کتاب اصول نظریه اعداد نوشته ی جان استیلول به ترجمه‌ی آقای دکتر مجید میرزاوزیری، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، این متن در صفحه 4 آن آمده است:
«نه تنها دنباله اعداد اول الگوی واضحی ندارند، بلکه حتی فرمول ساده ای که فقط  عدد اول تولید کند نیز جود ندارد. با این حال برخی کم خطاهای جالب وجود دارد.»

---

@Elyas1 و @Am.s این یکی از عجایب دنیای ریاضیات است که اعداد اول توانسته اند با بی نظمی خود، نظم اعداد طبیعی را بوجود بیاورند. نمیدانم از Ulam's rose یا Ulam's spiral چیزی شنیده اید یا نه. از دیدگاه بیرونی، الگوی ظاهراً منظمی از اعداد اول را نشان میدهد، ولی این اعداد اسرارآمیز با رفتن به بطن این حلزونی بی نظم میشوند. حال که اعداد اول نظرتان را جلب کرده، پیشنهاد میکنم به لینک پایین هم سری بزنید. موفق باشید.
https://www.google.com/search?sxsrf=ALeKk01ZHHNOTpOWjh4Py76moW47y2S3Zg:1610501079906&source=univ&tbm=isch&q=ulam%27s+spiral&client=tablet-android-lenovo&fir=EKw3dXjo6MW29M%252C7T0JlKIK54ugKM%252C_%253BquSzEtB61cwdQM%252C1n_FbitW46za6M%252C_%253Bp8zNeIyZkQd2KM%252C7T0JlKIK54ugKM%252C_%253BL-GvxBCh80lizM%252CyB0Q9F8XfPj6BM%252C_%253BKUZPC2qC1-7aIM%252CP1dKoVHDgNql7M%252C_%253BfKEQ3Mzen-Q-RM%252CWmhmA2DaXXEAwM%252C_%253BydxGV5nHgs6VgM%252CjO03vxkE8pxRyM%252C_%253BBd_J7KL5ZUcKjM%252C-VjtwTv4KnkEGM%252C_%253BZ3PKt18pPzbM2M%252CUqQXeAIBxfqDJM%252C_%253BMZf4cjtWZ_CUQM%252C7T0JlKIK54ugKM%252C_%253Bde7Hi60zh6mZ_M%252CWmhmA2DaXXEAwM%252C_&usg=AI4_-kTs3P9v0ItYY2-CDa8RZH8XGK6SFw&sa=X&ved=2ahUKEwiXpZyG4JfuAhUSGewKHftuCykQ420oAHoECAwQBA&biw=800&bih=1280#imgrc=MdPeExQ31EcusM&imgdii=Qfzrv2Ec_5s1xM

---

سلام. هنوز فرمولی برای دنباله اعداد اول نیست. حتا فرمولی برای تعداد اعداد اول کمت از هر مقدار حقیقی هم نیست. اما مورد اخیر را به کمک توابعی دیگر تقریب زده اند.
میلز (W.H.Mills) در سال1947 نشان داد که عدد حقیقی مثبت مانند a  وجود دارد که همه جملات دنباله f(n)=[a^(3n)] همگی اولند.البته این تابع وجودیست.البته اگر a هم مشخص باشد باید روی پوشابودن این تابع هم فکرد کرد.

---

@قاسمـشبرنگ نظرها را در قالب دیدگاه پست کنید نه به صورت پاسخ.

---

بله. حتمن.
با کمال تشکر.

Answer 1

@A-math-lover , @Elyas1 , @AmirHosein

با درود به دوستان گرامی. اخیراً پیشرفتهایی در این مورد صورت گرفته که شرح آن در ویکیپدیای انگلیسی آمده است. متأسفانه صفحه فارسی آن ایجاد نشده است. امیدوارم با مساعدت افراد دارای صلاحیت، این صفحه به فارسی ترجمه شود. هرچند هنوز تابع مؤثر و مفیدی تابحال ارائه نشده است.

تابع مولد اعداد اول: ویکیپدیای انگلیسی

فرضیه ریمان درصورت اثبات، اعداد اول را به نظم در می آورد که هنوز جزو مسائل لاینحل میباشد. کلیپ آموزشی آن بزبان فارسی در آدرس اینترنتی زیر قرار دارد.

صفرهای تابع زتای ریمان یا فرضیه ریمان بزبان ساده

تندرست و موفق باشید.