آیا برای حدس گلدباخ باید برای هر عدد زوج یک جفت عدد اول بدهیم که جمعش آن عدد شود یا همهٔ جفت های ممکن را باید بدهیم؟

Question

سلام. میخواستم بدونم منظور از اثبات حدس قوی گلدباخ اینه که ثابت کنیم حتما هر عدد زوج از جمع دو عدد اول قبل خود هست(بزرگتر از 2)؟ یعنی اگر فرمولی پیدا کنیم که دو عدد اول قبل یک عدد زوج را پیدا کنیم که جمعشان آن عدد شود حدس قوی گلدباخ اثبات میشود یا که نه باید تمام اعداد اول را بیابیم که جمعشان آن عدد زوج شود؟ در یک کلام یک جفت عدد اول که جمعشان آن عدد شود برای اثبات کافی است؟؟؟

Answer 1

بلی، حدس گلدباخ می‌گوید «برای هر عدد زوج بزرگتر از ۲، یک جفت عدد اول وجود دارد که جمعشان آن عدد زوج شود»، ممکن است بیشتر از یک جفت هم باشد ولی تنها ارائهٔ یکی کافیست، اگر ادعا می‌کرد بیشتر از یکی وجود ندارد و همیشه یک جفت هست می‌نوشتند «یک و تنها یک جفت» و اگر هم همهٔ جفت‌ها را می‌خواستند باید در متن حدس تعداد جفت‌ها را می‌آوردند، تعداد جفت‌های موجود خود یک پرسش متفاوت از اثبات وجود حداقل یک جفت است.

Answer 2

حداقل باید برای یک عدد زوج یک جفت عدد اول پیدا کنیم که مجموعشون بشه اون عدد(اعدادزوج بیشتر از دو)واین ربطی به دو عدد اول قبلی نداره و میتونه هم جفتای عدد اولش بیشتر باشه درواقع به طور میانگین هرچقدر که عدد زوجمون بیشتر باشه تعداد جفت های عدد اولی که میشه برای اون یافت بیشتر میشه

Answer 3

در سال 1742 میلادی توسط کریستسان گلدباخ، ریاضیدان و تاریخ شناس اهل پروس حدس زد که هر عدد بزرگتر از پنج را می توان همواره به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.

اما بعدها ریاضیدان دیگری به نام لئونارد اویلر، حدس ‌گلدباخ را به صورت دیگری بیان کرد؛ به شکلی ظاهرا متفاوت که در واقع به لحاظ ریاضی با بیان گلدباخ هم‌ارز است و آن را حدس قوی گلدباخ نامید. براساس حدس قوی گلدباخ هر عدد زوج بزرگتر از دو را همواره می توان به صورت جمع دو عدد اول نوشت.

جالب اینکه با گذشت بیش از 270 سال از این حدس حتی قوی ترین ابررایانه ها هم هیچ نقضی که صحت این حدس را زیر سوال ببرد، پیدا نکرده اند. و هنوز هیچ ریاضیدانی موفق به اثبات آن نشده است و اثبات حدس گلدباخ به یکی از چالش‌های مهم ریاضیدانان تبدیل شده است. در سال 1992 میلادی کتاب داستانی توسط یکی از موسسات انتشاراتی مشهور با عنوان عموپتروس و حدس گلدباخ (این کتاب به فارسی تحت عنوان انگاره حدس گلدباخ موجود است ) منتشر شد که در آن تاریخ ریاضیات در قالب داستانی جذاب شرح داده شد. چند سال بعد از انتشارات آن برای تبلیغ و فروش بیشتر این کتاب جایزه‌ای یک میلیون دلاری برای کسی که از تاریخ 20 مارس 2000 حداکثر به مدت دو هفته موفق به اثبات حدس گلدباخ شود تعیین کردند. اما بعد از اتمام تاریخ و حتی پس از آن و تا کنون هم هیچ ریاضیدانی موفق به اثبات این حدس به ظاهر آسان نشده است. در سال 2008 توماس اولیوریااسیلوا، پژوهشگر دانشگاه اویرو در پرتغال، با کمک یک سیستم ابررایانه توزیع یافته توانست صحت حدس گلدباخ را تا 1017 ×18 نشان دهد.

تلاش های اثبات حدس گلدباخ:

در سال 1966 چن‌جینگ‌ران، ریاضیدان چینی، ثابت کرد که هر عدد زوج به اندازه‌ی کافی بزرگ را می‌توان به صورت مجموع یک عدد اول و عدد دیگری که برابر حاصل ضرب دو عدد اول است. بنابراین دنیای ریاضیات یک قدم به اثبات درستی حدس گلدباخ نزدیک‌تر شد. در سال 1995 هم یک اولیور رامار، ریاضیدان فرانسوی ثابت کرد که هر عدد زوج بزرگتر یا مساوی 4 را می‌توان به صورت مجموع شش عدد اول نوشت. در سال ۱۹۳۱ اشنیرلمان (۱۹۰۵-۱۹۳۸) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود، موفقیت مهمی در این زمینه به‌دست آورد که برای همه ریاضیدانان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر ۳۰۰۰۰۰ عدد اول نمایش داد. هرچند این نتیجه در مقایسه با اثبات حدسیه گلدباخ خنده دار به نظر می‌رسد، اما این نخستین قدم در جهت حل آن بود. بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی‌، لیتلوود و همکار هندی برجسته آن‌ها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد‌، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از ۳۰۰۰۰۰ به چهار کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیک‌تر است، ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان ۳۰۰۰۰۰ و ۴ باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح به اندازه کافی بزرگ ثابت شده است؛ به بیان دقیق‌تر، او ثابت کرد عدد صحیح N وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر ۴ عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و برخلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است.

در سال 2007 فیلمی فوق العاده جذاب تحت عنوان اتاق فرمت (اسپانیایی: La habitación de Fermat‎) در این زمینه ساخته شده است.چهار ریاضیدان که یکدیگر را نمی‌شناسند توسط میزبانی ( ریاضیدانی مسن ) مرموز برای حل یک معما دور هم جمع می‌شوند. آنها متوجه می‌شوند اتاقی که در آن گرفتار شده‌اند در حال کوچک شدن است و اگر نتوانند معما را به موقع حل کنند کشته خواهند شد…