آیا یک عدد کوچکتر از صفر (یک عدد منفی) نیز می تواند اول باشد؟

Question

با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

همۀ ما می‌دانیم که یک عدد اول، عددی طبیعی است که فقط دو شمارنده دارد و آن دو شمارنده، خود آن عدد و عدد یک هستند؛ پس با این توضیح، فقط اعداد طبیعی می‌توانند اول باشند و اعداد صحیح منفی نمی‌توانند اول باشند؛ اما در جایی خواندم که اعداد اول اعدادی صحیح هستند که فقط چهار شمارنده دارند و آن چهار شمارنده، خود آن عدد و عدد یک و قرینۀ خود آن عدد و منفی یک می‌باشد. برای مثال عدد $5$، اول است زیرا چهار شمارنده دارد: $\{5,1,-5,-1\}$، پس عدد $-5$ نیز اول است زیرا همان چهار شمارنده را دارد: $\{5,1,-5,-1\}$. و به‌این ترتیب اعداد منفی نیز می‌توانند اول باشند. اما آیا واقعاً این درست است و یک عدد کوچکتر از صفر (یک عدد منفی) نیز می تواند اول باشد؟

Comments

@Am.s تعریفِ «فقط دو شمارنده داشتن» و «فقط چهار شمارنده‌داشتن» به ترتیب مربوط به حالت‌های مجموعهٔ اعداد طبیعی و مجموعهٔ اعداد صحیح است و نمی‌توان از آنها برای بررسی اول بودن در جای دیگر استفاده کرد. بنابراین اینکه گفتید به خاطر «تنها دو شمارنده داشتن» اعداد صحیح منفی نمی‌توانند اول باشند نادرست است، چون آن تعریف اصلا در فضای کل اعداد صحیح نیست. بعلاوه اگر اعداد صحیح منفی به آن خاطر نتوانند اول باشند، آنگاه اعداد مثبت نیز به همان دلیل نااول نمی‌شوند؟ مثلا همان عدد ۲ که در اعداد طبیعی دو شمارنده دارد، در اعداد صحیح چهار شمارنده دارد، نه؟ تعریفِ کلی‌تر را در پاسخ برایتان گذاشتم. یک مطلب کوچک، زمانی که می‌نویسید «در جایی خواندم» بهتر است به منبعی که خواندید اشاره کنید برای نمونه پیوندی به صفحهٔ اینترنتی یا نام کتاب و غیره مگر اینکه به یاد نداشته باشید کجا بوده‌است.

Answer 1

به طور پیش‌فرض اعداد اول و مرکب برای اعداد طبیعی تعریف می‌شوند. اما برای هر حلقهٔ دلخواهی (اعداد صحیح نیز یک حلقه است)، عضو اول نیز تعریف می‌شود، تعریف آن نیز ساده‌است، هر عضوی از حلقه که نسبت به عمل ضربی‌اش وارون‌پذیر نیست و به شکل حاصلضرب دو عضو وارون‌ناپذیرِ دیگر از آن حلقه نوشته نشود در آن حلقه عضوی اول است. یک عضو وارون‌پذیر چه عضوی است؟ عضوی است که بتوان عضو دیگری (نه الزاما متفاوت از خودش) در آن حلقه یافت که حاصلضربش در عضو نخست، برابر با عضوِ همانیِ ضربیِ حلقه شود. در حلقهٔ $\mathbb{Z}$ به همراه دو عمل جمع و ضرب معمولی‌اش، عضو همانیِ ضربی ۱ است. عضوِ همانیِ یک حلقه یعنی عضوی که حاصلضربش در هر عضو دیگری برابر با آن عضو شود. اکنون چه عددهای صحیحی هستند که می‌توان برایشان جفتی یافت که ضرب‌شان در جفت‌شان برابر با ۱ شود؟ تنها عددهای ۱ و $-1$ این ویژگی‌ را دارند که هر یک، وارونش خودش است. پس ۱ و منفی یک نمی‌توانند عضو اول در اعداد صحیح باشند. یک عضو مثبت تجزیه‌اش مشخص است و اول بودنش، اول بودنش با تعریف معمولی را نتیجه می‌دهد (توجه کنید که $(-2)(-1)=2$ نتیجه نمی‌دهد که ۲ اول نیست چون $-1$ وارون‌پذیر است). تجزیه‌های یک عضو منفی نیز خیلی راحت از روی تجزیه‌های قرینه‌اش نوشته می‌شوند با یک منفی دادن به یکی از دو عامل. پس اول بودن عددهای منفی در $\mathbb{Z}$ هم‌ارز با اول بودن قرینه‌شان می‌شود. پس مجموعهٔ عضوهای اولِ $\mathbb{Z}$ برابر می‌شود با $\lbrace \pm2,\pm3,\pm5,\pm7,\dots\rbrace$ همانطور که فکر می‌کردید.