به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
56 بازدید
در دبیرستان توسط alineysi (617 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

به حاصلضرب اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰، ۳۶ واحد اضافه میکنیم.عدد حاصل چند شمارنده کمتر از ۱۰۰ دارد؟ تلاش خودم .ب م م ۳۶ و ۱۰۰ برابر ۶ هست .بنابراین تا اینجا ۴ شمارنده داریم.ولی بعد ازفاکتور گرفتن از ۶ از کجا متوجه بشیم که پرانتز دیگر شمارنده کنتر از ۱۰۰ ندارد؟

توسط AmirHosein (11,165 امتیاز)
@alineysi به عنوان کاربری که مدت ناکوتاهی اینجا بوده‌است انتظار می‌رود عنوان را مناسب‌تر انتخاب کنید. برای نمونه «عددهای اول کوچکتر از ۱۰۰ را ضرب و سپس ۳۶ واحد می افزاییم. حاصل چند شمارندهٔ کوچکتر از ۱۰۰ دارد؟». عنوان کنونی شما می‌تواند برای تعداد زیادی از پرسش‌های اینجا گذاشته شود و فرق پرسش شما با پرسش‌های دیگر را نمی‌رساند.
به هر حال بیاییم سراغ پرسش‌تان. چرا ب.م.م عدد ۱۰۰ و ۳۶ را در نظر گرفته‌اید؟ خود عدد ۱۰۰ اصلا در $\prod_{\substack{p\text{ prime}\\ p < 100}}p$ ظاهر نمی‌شود.
توسط alineysi (617 امتیاز)
باسلام خدمت شما.کاملا حق با شماست.
اگه امکانش هست بیشتر توضیح دهید ممنون میشم
توسط AmirHosein (11,165 امتیاز)
@aliyensi با کلیک بر روی علامت مدادشکل زیر پست می‌توانید پست را ویرایش کنید . عنوان پرسش را ویرایش کنید تا توضیح بهتری دریافت کنید.
توسط alineysi (617 امتیاز)
تغییرات انجام شد.ممنون
توسط AmirHosein (11,165 امتیاز)
+1
@aliyensi برای پرسش‌تان پاسخ نوشتم. در مورد اشتباهتان که در دیدگاه نخستم اشاره کرده بودم و امیدوار بودم در هنگام ویرایش متوجهش بشوید این است که شما ب.م.م دو عدد ۳۶ و ۱۰۰ را نمی‌گیرید! ب.م.م این دو عدد ۶ نمی‌شود، بلکه ۴ می‌شود. شما ب.م.م از ۳۶ و حاصلضرب عددهای اول کوچکتر از ۱۰۰ می‌گیرید. خود عدد ۱۰۰ در این ضرب و جمع‌ها اصلا حضور ندارد چون اول نیست.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (11,165 امتیاز)
انتخاب شده توسط alineysi
 
بهترین پاسخ

عددهای اول کوچکتر از ۱۰۰ را در هم ضرب کرده‌اید و ۳۶ که تجزیه‌اش $2^2\times 3^2$ است را با آن جمع کرده‌اید.

$$\begin{array}{l} (2\times 3\times 5\times 7\times\cdots\times 97)+(2^2\times 3^2)\\ =(2\times 3)\big((5\times 7\times\cdots\times 97)+(2\times 3)\big) \end{array}$$

تعریف کنید

$$k_1:=5\times 7\times\cdots\times 97,\;k_2:=2\times 3,\;k:=k_1+k_2$$

باقیماندهٔ بخش‌کردنِ یک عدد طبیعیِ $n$ بر عدد طبیعیِ دیگر $m$ را با نماد $[n]_m$ نمایش دهید که عددی بین صفر تا $m-1$ می‌تواند باشد (نمادگذاری انجام شده را با نمادگذاری برای نمایندهٔ رده‌های هم‌ارزی مقایسه کنید). برایتان باید روشن باشد که عدد $m$ عدد $n$ را می‌شمارد هر گاه $[n]_m=0$ یا به سخن دیگر $n\overset{m}{\equiv}0$. و برایتان باید روشن باشد که چرا رابطهٔ زیر برقرار است.

$$\forall m\in\mathbb{N}\;:\;[k]_m=\big[[k_1]_m+[k_2]_m\big]_m $$

اکنون باید بیازماییم که برای عددهای اول ۲ تا ۹۷ آیا عددی هست که $k$ را بشمارد؟

$$\begin{array}{l} [k_1]_2=1,\;[k_2]_2=0\overset{1\lneqq 2}{\Longrightarrow}k\overset{2}{\equiv}1\Longrightarrow 2\nmid k\\ [k_1]_3=2,\;[k_2]_3=0\overset{2\lneqq 3}{\Longrightarrow}k\overset{3}{\equiv}1\Longrightarrow 3\nmid k\\ [k_1]_5=0,\;[k_2]_5=1\overset{1\lneqq 5}{\Longrightarrow}k\overset{5}{\equiv}1\Longrightarrow 5\nmid k\\ \forall\underset{\text{prime}}{p}\in\lbrace 7,\cdots,97\rbrace\;:\;[k_1]_p=0,\;[k_2]_2=6\overset{6\lneqq p}{\Longrightarrow}k\overset{p}{\equiv}1\Longrightarrow p\nmid k\\ \therefore\not\exists\underset{\text{prime}}{p}< 100\;\text{s.t.}\;p\mid k \end{array}$$

توجه کنید که اگر جمع باقیمانده‌های بخش‌کردن $k_1$ و $k_2$ بزرگتر از عدد اول مورد نظر در هر سطر می‌شد باید حاصل را دوباره بر آن عدد اول بخش می‌کردیم. به هر حال در بالا ثابت کردیم که هیچ عدد اول کوچکتر از ۱۰۰ای $k$ را نمی‌شمارد پس تمام شمارنده‌های اول کوچکتر از ۱۰۰ برای عدد اصلی همان ۲ و ۳ هستند که یک بار هم تکرار می‌شوند. در نتیجه ۴ عدد می‌توان کوچکتر از ۱۰۰ یافت که آن عدد را بشمارند یعنی ۱ و ۲ و ۳ و ۶. اگر می‌خواهید نتیجه را با نرم‌افزار نیز بیازمایید (چک کنید) در زیر می‌توانید تجزیهٔ عدد اصلی به کمک نرم‌افزار Mathematica را ببینید.

FactorInteger[Product[Prime[i],{i,1,25}]+36]

حاصل:

{{2,1},{3,1},{2411,1},{3547,1},{1621133,1},{27717217722848755159291,1}}

شمارنده‌های اول به ترتیب از کوچک به بزرگ به همراه توانشان آورده‌شده‌اند. همانطور که می‌بینید ۴ شمارندهٔ اول دیگر بزرگتر از ۱۰۰ هستند. برای تست کردن اول بودن یک عدد در نرم‌افزار Mathematica از دستور PrimeQ مانند زیر استفاده کنید.

PrimeQ[27717217722848755159291]

حاصل

True
توسط alineysi (617 امتیاز)
ممنون بابت وقتی ک گذاشتید.لطف کردید

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...