اگر a حاصل ضرب اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰ باشد a +3 چند مقسوم علیه اول دورقمی دارد؟

Question

تلاش من :97×.....× a=2×3×5×7 پاسخ من هیچی بود با توجه به اینکه a+۳ باید بر اعداد اول از ۱۱ تا ۹۷ بخش پذیر باشد اما باید بجای ۳ حداقل با عدداول ۱۱ تا ۹۷ جمع بشه که حاصل بر آنها بخش پذیر باشد اما نمیدونم پاسخ درستی هست یا خیر

Answer 1

سلام، برای حل این سوال فرض می کنیم عدد اولی چون p وجود دارد به طوری که : $$$$

$$a = 2×3×7×...×97$$

$$p \mid a +3 $$

باتوجه به اینکه p عددی اول دورقمی کوچکتر از ۱۰۰ می باشد، پس قطعا p ضرب عامل های اول کمتر از ۱۰۰ را عاد می کند:

$$p \mid a$$ $$p \mid a +3$$

با تفاضل دو عبارت بالا می توان نوشت: $$p\mid 3$$

با توجه به عبارت فوق نتیجه میگیرم p تنها می تواند دارای مقدار 3 باشد، که با خواسته مسئله در تضاد است پس هیچ مقدار اول دو رقمی برای p وجود ندارد.