ابتدا بگویم که این سوال باید با کامپیوتر حل شود. اما می توان سوال را ساده کرد تا به جواب رسید.
فرض کنید دنباله به این صورت باشد:
$p+9d$ , ... , $p+2d$ , $p+d$ , $p$ که در آن همه ی جملات اول هستند.
همین اول کار نتیجه ای به دست می آوریم. چون همه ی اعداد از 3000 کمترند پس:
$9d$ $ \geq $ 3000 $ \Leftarrow $ $d$ $ \geq $ $\frac{1000}{3}$ $ \geq $ 334
اکنون توجه کنید که $d$ باید بر 2 و 3 و 5 و 7 بخشپذیر باشد. این مطلب را می توان به آسانی با برهان خلف اثبات کرد، چراکه اگر چنین نباشد آنگاه حداقل یکی از ده عدد در دنباله بر حداقل یکی از اعداد 2 و 3 و 5 و 7 بخش پذیر می شود که دیگر اول نیست(این کار با حالت بندی انجام می شود). پس $d$ بر تمام اعداد 2و3و5و7 بخش پذیر است و بنابراین بر 210=7×5×3×2 هم بخش پذیر است. از طرفی میدانیم $d$ از 334 کمتر است. پس $d$ دقیقا 210 است.پس دنباله به صورت زیر در می آید:
$p$ , $p+210$ , $p+420$ ,..., $p+1890$
پس داریم:
$p+1890$ $\geq$ 3000 $\Leftarrow$ $p$ $\geq$ 1110
چون 210 به پیمانه ی 11 برابر 1 است می توان نتیجه گرفت که $p$ هم به پیمانه ی 11 برابر 1 است، چراکه اگر چنین نباشد یکی از اعداد دنباله بر 11 بخش پذیر میشود که متناقض با اول بودن جملات دنباله است.
اکنون میتوان با کامپیوتر اعداد اول تا 1110 را که به پیمانه ی 11 برابر 1 هستند را حساب کرد که به صورت زیرند:
23,67,89,199,331,353,397,419,463,617,661,683,727,859,881,947,991,1013
که باز هم با کامپیوتر می توان حساب کرد که تنها 199 ویژگی های سوال را دارد. در حقیقت دنباله ی زیر جواب است:
199 , 409 , 619 , 829 , 1039 , 1249 , 1459 , 1669 , 1879 , 2089
خواهشا از این سوال ها نگذارید.........
