چهار جمله دنباله حسابی از اعداد صحیح تشکیل شده است. اگر جمله بزرگتر با مجموع مربعات سه جمله دیگر برابر باشد آن چهار عدد را بدست آورید.

Question

سلام

چهار جمله دنباله حسابی از اعداد صحیح تشکیل شده است. اگر جمله بزرگتر با مجموع مربعات سه جمله دیگر برابر باشد آن چهار عدد را بدست آورید.

اعداد دنباله رو بدست آوردم : a_{n} : -1 , 0 , 1 , 2 , ... اما نتونستم راه حل تشریحی کاملی ارائه بدم.

Answer 1

اگر جملات دنباله بصورت صعودی مرتب شده باشند و برابر

$$a-d,a,,a+d,a+2d$$ باشند داریم $$(a-d)^2+a^2+(a+d)^2=a+2d$$ که نتیجه می دهد $$2d^2-2d+3a^2-a=0$$ اگر این معادله درجه دوم برحسب $d$باشد داریم $$d= \frac{1+\sqrt{1+2a-6^2}}{2}$$ و $$d= \frac{1-\sqrt{1+2a-6a^2}}{2}$$ لذا عبارت داخل رادیکال باید مثبت باشد $$1+2a-6a^2>0$$ لذا با تقسیم طرفین بر منفی یک $$6a^2-2a-1< 0$$ با حل این نا معادله و تعیین علامت داریم $$\frac{1-√7}{6} < a< \frac{1+√7}{6}$$

اما چون $a$ مقدار صحیح است لذا

$$a=0$$ و مقدار $$d=1$$ خواهد بود. لذا دنباله برابر $$-1,0,1,2$$ خواهد بود

Comments

سلام آقای احمدی ممنون از پاسختون اون بخش دلتای معادله اول به ذهنم نرسیده بود. معادله دوم دلتاش برابر رادیکال ۲۸ است اشتباها نوشتید رادیکال ۷

Answer 2

دوست عزیز از اونجایی که سوال رو در سطح کتاب حسابان یک دسته بندی کردین و هدف فقط به دست آوردن چهار جمله با این ویژگیه کار سختی نداریم! ولی اگر سوال تمام دنباله های با این ویژگی رو می خواست کار کمی سخت تر می شد حالا برای هر دو نوع سوال راه حل رو خدمتتون عرض می کنم: ۱) اگر سوال فقط بخواد دنباله ای با این ویژگی رو به دست بیاریم می تونیم خودمون قدر نسبت رو یک در نظر بگیریم پس داریم: a1=a a2=a+1 a3=a+2 a4=a+3 a^2+(a+1)^2+(a+2)^2=a+3 -----> 3a^2+6a+5=a+3 -----> 3a^2+5a+2=0 -----> a=-1 یا a=-2/3 که با توجه به اینکه a عضوی از اعداد صحیحه پس a=-1 قابل قبوله پس همون دنباله ای که گفتید به دست میاد برای حالت بعدی با توجه به اینکه نوشته طولانی شد کوتاه راهنمایی می کنم. در این حالت قدر نسبت دنباله رو d در نظر بگیرید با این شرط که بزرگ تر یا مساوی ۲ باشه و با نوشتن جملات دنباله برحسب a و d و نوشتن تساوی مسأله و ساده کردن ها به سادگی می تونید اثبات کنید که در این حالت جوابی وجود ندارد بنابراین تنها جواب مسئله همان اعداد -۱ و ۰ و ۱ و ۲ هست موفق باشید