چرا اختلاف جملات متوالی یک دنباله با جمله عمومی درجه دو یعنی به شکل $an^2+bn+c$ دنباله ای حسابی تشکیل می دهند؟

Question

در دنباله‌ٔ درجه دویی با جمله عمومی کلی زیر

$$an^2+bn+c$$

اختلاف جملات متوالی، دنباله‌ای حسابی با قدر نسبت $2a$ تشکیل می‌دهند. چرا اینگونه است؟ جمله‌ٔ کلی این دنبالهٔ حسابیِ تشکیل‌شده چیست؟

Comments

@SorourMoshafian جملهٔ $(n+1)$اُم این دنباله را بنویسید و از آن جملهٔ $n$اُم را کم کنید.

Answer 1

با قرادادن $n=1$داریم$$a+b+c$$ یا قرار دادن $n=2$داریم$$4a+2b+c$$ باقرار دادن$n=3$داریم$$9a+3b+c$$ با ادامه دادن این روند و نوشتن چند جمله متوالی به نتایج جالب می رسیم. در مرحله اول که اختلاف اعداد را بررسی می کنیم دو عدد متوالی$3a+b$ واحد از هم اختلاف دارند. اگر برای مرحله دوم اختلاف ها را بررسی کنید اختلاف شان$2a$ خواهد بود‌. از این نکات برای نوشتن رابطه اعداد درجه دوم استفاده می شود. و اینکه اختلاف اعداد ثابت است. یا دنباله حسابی است.