چون $a, \alpha, b, \beta, c $ تشکیل دنباله حسابی می دهند لذا داریم:
$$ \alpha=a+d, b=a+2d, \beta=a+3d, c=a+4d$$
با جایگذاری روابط فوق در معادله $ a x^{2} +bx+c=0 $ داریم:
$$ a(a+d)^{2}+(a+2d)(a+d)+a+4d=0$$
$$a(a+3d)^{2}+(a+2d)(a+3d)+a+4d=0 $$
لذا
$$(a+d)( a^{2}+ad+a+2d)=(a+3d)( a^{2}+3ad+a+2d) $$
$$ \Longrightarrow $$
$$ 2 a^{2}d+4a d^{2}+ad+2 d^{2} =0 $$
بنابراین
$$ad(2a+1)+2d^{2}(2a+1)=0 $$
$$ \Longrightarrow $$
$$a=-1/2 \vee d=0 \vee a=-2d $$
در حالتی که $ d=0 $ در این صورت دنیاله به صورت $ a, a, a, a, a $ است اما در این صورت معادله
$$ax^{2}+ax+a=0 $$
فاقد جواب است.
حالت دوم:چنانچه $ a=-2d$ در این صورت دنباله به صورت $ a, a/2, 0, -a/2, -a$ است که در این حالت معادله بفرم زیر خواهد بود:
$$ax^{2}-a=0 $$
که جواب های معاده برابر با $ x=-1, x=1 $ است. لذا
$$ \begin{cases}a+d=-1\\a+3d=1 \Rightarrow d=1, a=-2\end{cases} \qquad (**) $$
از این رو معادله به صورت
$$ f(x)=-2x^{2}+2$$
می باشد.
اگر جای ریشه در معادله $ (**)$ عوض شود انگاه $ a=2, d=-1 $ و در نتیجه معادله بفرم زیر است:
$$ f(x)=2x^{2}-2 $$
حالت سوم: اگر $ a=-1/2 $باشد. در این حالت با توجه به رابطه ی
$$\alpha \times \beta= \frac{c}{a} $$
داریم:
$$( \frac{-1}{2}+d )( \frac{-1}{2}+3d )= \frac{ \frac{-1}{2}+4d }{ \frac{-1}{2} } $$
که با جایگذاری $ a=-1/2, b=-1/2+2d, c=-1/2+4d$ بدست می اید:
$$d= \frac{ \sqrt{5} }{2}-1 \qquad \qquad d= \frac{ \sqrt{5} }{2}+1 $$
لذا معادله بفرم
$$f(x)= \frac{-1}{2} x^{2}+(- \frac{5}{2}+ \sqrt{5} ) x- \frac{9}{2}+2 \sqrt{5} $$
یا
$$f(x)= \frac{-1}{2} x^{2}+(- \frac{5}{2}- \sqrt{5} ) x- \frac{9}{2}-2 \sqrt{5} $$
است.
خواهد بود.
