تعیین توابع درجه دو که ضرایب و ریشه ها تشکیل دنباله حسابی می دهند.

Question

تمام توابع درجه دو بصورت $ f(x)=a x^{2} +bx+c $ را مشخص کنید که اگر $ \alpha $ و $ \beta $ ریشه های آنها باشند آنگاه $a, \alpha ,b , \beta ,c $ تشکیل دنباله ی حسابی بدهند.

Answer 1

چون $a, \alpha, b, \beta, c $ تشکیل دنباله حسابی می دهند لذا داریم:

$$ \alpha=a+d, b=a+2d, \beta=a+3d, c=a+4d$$

با جایگذاری روابط فوق در معادله $ a x^{2} +bx+c=0 $ داریم:

$$ a(a+d)^{2}+(a+2d)(a+d)+a+4d=0$$ $$a(a+3d)^{2}+(a+2d)(a+3d)+a+4d=0 $$

لذا

$$(a+d)( a^{2}+ad+a+2d)=(a+3d)( a^{2}+3ad+a+2d) $$ $$ \Longrightarrow $$ $$ 2 a^{2}d+4a d^{2}+ad+2 d^{2} =0 $$

بنابراین

$$ad(2a+1)+2d^{2}(2a+1)=0 $$ $$ \Longrightarrow $$ $$a=-1/2 \vee d=0 \vee a=-2d $$

در حالتی که $ d=0 $ در این صورت دنیاله به صورت $ a, a, a, a, a $ است اما در این صورت معادله

$$ax^{2}+ax+a=0 $$

فاقد جواب است.

حالت دوم:چنانچه $ a=-2d$ در این صورت دنباله به صورت $ a, a/2, 0, -a/2, -a$ است که در این حالت معادله بفرم زیر خواهد بود:

$$ax^{2}-a=0 $$

که جواب های معاده برابر با $ x=-1, x=1 $ است. لذا

$$ \begin{cases}a+d=-1\\a+3d=1 \Rightarrow d=1, a=-2\end{cases} \qquad (**) $$

از این رو معادله به صورت $$ f(x)=-2x^{2}+2$$

می باشد.

اگر جای ریشه در معادله $ (**)$ عوض شود انگاه $ a=2, d=-1 $ و در نتیجه معادله بفرم زیر است:

$$ f(x)=2x^{2}-2 $$

حالت سوم: اگر $ a=-1/2 $باشد. در این حالت با توجه به رابطه ی

$$\alpha \times \beta= \frac{c}{a} $$

داریم:

$$( \frac{-1}{2}+d )( \frac{-1}{2}+3d )= \frac{ \frac{-1}{2}+4d }{ \frac{-1}{2} } $$

که با جایگذاری $ a=-1/2, b=-1/2+2d, c=-1/2+4d$ بدست می اید:

$$d= \frac{ \sqrt{5} }{2}-1 \qquad \qquad d= \frac{ \sqrt{5} }{2}+1 $$

لذا معادله بفرم

$$f(x)= \frac{-1}{2} x^{2}+(- \frac{5}{2}+ \sqrt{5} ) x- \frac{9}{2}+2 \sqrt{5} $$

یا

$$f(x)= \frac{-1}{2} x^{2}+(- \frac{5}{2}- \sqrt{5} ) x- \frac{9}{2}-2 \sqrt{5} $$

است.

خواهد بود.

Comments

@zh
@erfanm
در حالت دوم که جواب $f(x)=7x^2-x-9$شده و $a=7,d=-4$ لذا $\alpha=3$ در حالیکه $\alpha$ در معادله صدق نمیکنه!
فکر کنم حالت دوم مشکل داره نه؟

---

اشتباه نوشتاری بود چون ریشه ها $1$و$-1$ بودند ولی $-1$ و$3$ جایگذاری شده بودند الان اصلاح شد..

---

@zh
در حالت اول که $d=0$ معادله به صورت $ax^2+ax+a=0$ در بیاد چرا معادله جواب ندارد؟ اگر $a=0$ باشد آنگاه جواب تمام اعداد حقیقی می شود!

---

نمیتونه برابر صفر باشه چون اون موقع تابع درجه 2تشکیل نمیده

---

@fa:دیر متوجه کامنتتون شدم. دلیل dr صحیحه.
از حٌسن دقت آقای منوچهری هم ممنونم.

Answer 2

می توان اینگونه نیز عمل کرد. چون$$a, \alpha ,b, \beta ,c$$تشکیل دنباله ی حسابی میدهند پس داریم$$ \frac{ \alpha + \beta }{2}=b $$از طرفی چون$ \alpha و \beta $ ریشه های تابع $f(x)$ است پس داریم $$ \alpha + \beta =- \frac{b}{a} $$حال از دو رابطه ی فوق $$2b=- \frac{b}{a} $$یعنی یا $a=- \frac{1}{2} $ یا $b= 0$.

اگر $a=- \frac{1}{2} $ آنگاه از رابطه ی بین ریشه ها و ضرایب یعنی $ \alpha \beta = \frac{c}{a} $استفاده می کنیم بدین گونه که با جایگذاری تساویهای زیر $$ \alpha = a + d$$ $$ \beta =a+3d$$ $$c=a+4d$$ $$a=- \frac{1}{2} $$ و انجام محاسبات و ساده کردن به معادله ی درجه ی دوم$$4d^{2}+8d-1=0$$ میرسیم که از این نیز $d=-1 \pm \frac{ \sqrt[]{5} }{2} $حاصل میشود

اگر $d=-1+ \frac{ \sqrt[]{5} }{2} $بنابراین دنباله ی $a, \alpha ,b, \beta ,c$ برابر $$- \frac{1}{2} ,- \frac{3}{2} + \frac{ \sqrt[]{5} }{2},- \frac{5}{2} + \sqrt[]{5} ,- \frac{7}{2} +3 \frac{ \sqrt[]{5} }{2},- \frac{9}{2} +4 \frac{ \sqrt[]{5} }{2} $$ است و خواهیم داشت$$f(x)=- \frac{1}{2} x^{2} +(- \frac{5}{2} + \sqrt[]{5} )x - \frac{9}{2} + 4\frac{ \sqrt[]{5} }{2} $$ و اگر $d=-1- \frac{ \sqrt[]{5} }{2}$با مراحلی شبیه فوق به تابع زیر میرسیم $$f(x)=- \frac{1}{2} x^{2} +(- \frac{5}{2} - \sqrt[]{5} )x - \frac{9}{2} - 4\frac{ \sqrt[]{5} }{2} .$$ حال بررسی حالت$b=0$ در اینصورت باز هم با توجه به واسطه ی حسابی بودن$b$داریم $$ \frac{a+c}{2} =b= \frac{ \alpha + \beta }{2} $$که از این نیز چون$b=0$خواهیم داشت$$a=-c , \alpha =- \beta $$ حال با جایگذاری تساوی فوق در رابطه ی$ \alpha \beta = \frac{c}{a} $خواهیم داشت$$- \alpha ^{2} =-1$$ $$ \Longrightarrow \alpha = \pm 1$$اگر$ \alpha =-1$ چون$ \alpha =- \beta$پس$ \beta =1$.حال از رابطه$2d= \beta - \alpha $خواهیم داشت$ d=1$ که در اینصورت دنباله ی $a, \alpha ,b, \beta ,c$برابر$-2,-1,0,1,2 $میشود و خواهیم داشت$f(x)=-2 x^{2} +2$

و اگر $ \alpha =1$ آنگاه با روشی مشابه داریم $ d=-1$ و به تابع $ f(x)=2 x^{2} -2$ خواهیم رسید.

Comments

روشتون درسته ولی این تمام این دسته از معادلات رو که باید دارای چنین شرطی باشه رو تعیین نمیکنه.

---

میشه بگید کدوم قسمت جواب رو اشتباه نوشتم که جوابام با بهترین پاسخ یکی نشد؟

---

$4$ جواب داریم که هر چهارتا رو بدست آوردید. روشتون درسته.