به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
Visanil
+3 امتیاز
3,535 بازدید
در دبیرستان توسط erfanm (13,871 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

تمام توابع درجه دو بصورت $ f(x)=a x^{2} +bx+c $ را مشخص کنید که اگر $ \alpha $ و $ \beta $ ریشه های آنها باشند آنگاه $a, \alpha ,b , \beta ,c $ تشکیل دنباله ی حسابی بدهند.

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط zh (1,192 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

چون $a, \alpha, b, \beta, c $ تشکیل دنباله حسابی می دهند لذا داریم:

$$ \alpha=a+d, b=a+2d, \beta=a+3d, c=a+4d$$

با جایگذاری روابط فوق در معادله $ a x^{2} +bx+c=0 $ داریم:

$$ a(a+d)^{2}+(a+2d)(a+d)+a+4d=0$$ $$a(a+3d)^{2}+(a+2d)(a+3d)+a+4d=0 $$

لذا

$$(a+d)( a^{2}+ad+a+2d)=(a+3d)( a^{2}+3ad+a+2d) $$ $$ \Longrightarrow $$ $$ 2 a^{2}d+4a d^{2}+ad+2 d^{2} =0 $$

بنابراین

$$ad(2a+1)+2d^{2}(2a+1)=0 $$ $$ \Longrightarrow $$ $$a=-1/2 \vee d=0 \vee a=-2d $$

در حالتی که $ d=0 $ در این صورت دنیاله به صورت $ a, a, a, a, a $ است اما در این صورت معادله

$$ax^{2}+ax+a=0 $$

فاقد جواب است.

حالت دوم:چنانچه $ a=-2d$ در این صورت دنباله به صورت $ a, a/2, 0, -a/2, -a$ است که در این حالت معادله بفرم زیر خواهد بود:

$$ax^{2}-a=0 $$

که جواب های معاده برابر با $ x=-1, x=1 $ است. لذا

$$ \begin{cases}a+d=-1\\a+3d=1 \Rightarrow d=1, a=-2\end{cases} \qquad (**) $$

از این رو معادله به صورت $$ f(x)=-2x^{2}+2$$

می باشد.

اگر جای ریشه در معادله $ (**)$ عوض شود انگاه $ a=2, d=-1 $ و در نتیجه معادله بفرم زیر است:

$$ f(x)=2x^{2}-2 $$

حالت سوم: اگر $ a=-1/2 $باشد. در این حالت با توجه به رابطه ی

$$\alpha \times \beta= \frac{c}{a} $$

داریم:

$$( \frac{-1}{2}+d )( \frac{-1}{2}+3d )= \frac{ \frac{-1}{2}+4d }{ \frac{-1}{2} } $$

که با جایگذاری $ a=-1/2, b=-1/2+2d, c=-1/2+4d$ بدست می اید:

$$d= \frac{ \sqrt{5} }{2}-1 \qquad \qquad d= \frac{ \sqrt{5} }{2}+1 $$

لذا معادله بفرم

$$f(x)= \frac{-1}{2} x^{2}+(- \frac{5}{2}+ \sqrt{5} ) x- \frac{9}{2}+2 \sqrt{5} $$

یا

$$f(x)= \frac{-1}{2} x^{2}+(- \frac{5}{2}- \sqrt{5} ) x- \frac{9}{2}-2 \sqrt{5} $$

است.

خواهد بود.

توسط fardina (17,622 امتیاز)
+1
@zh
@erfanm
در حالت دوم که جواب $f(x)=7x^2-x-9$شده و $a=7,d=-4$ لذا $\alpha=3$ در حالیکه $\alpha$ در معادله صدق نمیکنه!
فکر کنم حالت دوم مشکل داره نه؟
توسط erfanm (13,871 امتیاز)
+1
اشتباه نوشتاری بود چون ریشه ها $1$و$-1$ بودند ولی $-1$ و$3$ جایگذاری شده بودند الان اصلاح شد..
توسط fardina (17,622 امتیاز)
+1
@zh
در حالت اول که $d=0$ معادله به صورت $ax^2+ax+a=0$ در بیاد چرا معادله جواب ندارد؟ اگر $a=0$ باشد آنگاه جواب تمام اعداد حقیقی می شود!
توسط dr (500 امتیاز)
+3
نمیتونه برابر صفر باشه چون اون موقع تابع درجه 2تشکیل نمیده
توسط zh (1,192 امتیاز)
+1
@fa:دیر متوجه کامنتتون شدم. دلیل dr صحیحه.
از حٌسن دقت آقای منوچهری هم ممنونم.
+2 امتیاز
توسط dr (500 امتیاز)
ویرایش شده توسط dr

می توان اینگونه نیز عمل کرد. چون$$a, \alpha ,b, \beta ,c$$تشکیل دنباله ی حسابی میدهند پس داریم$$ \frac{ \alpha + \beta }{2}=b $$از طرفی چون$ \alpha و \beta $ ریشه های تابع $f(x)$ است پس داریم $$ \alpha + \beta =- \frac{b}{a} $$حال از دو رابطه ی فوق $$2b=- \frac{b}{a} $$یعنی یا $a=- \frac{1}{2} $ یا $b= 0$.

اگر $a=- \frac{1}{2} $ آنگاه از رابطه ی بین ریشه ها و ضرایب یعنی $ \alpha \beta = \frac{c}{a} $استفاده می کنیم بدین گونه که با جایگذاری تساویهای زیر $$ \alpha = a + d$$ $$ \beta =a+3d$$ $$c=a+4d$$ $$a=- \frac{1}{2} $$ و انجام محاسبات و ساده کردن به معادله ی درجه ی دوم$$4d^{2}+8d-1=0$$ میرسیم که از این نیز $d=-1 \pm \frac{ \sqrt[]{5} }{2} $حاصل میشود

اگر $d=-1+ \frac{ \sqrt[]{5} }{2} $بنابراین دنباله ی $a, \alpha ,b, \beta ,c$ برابر $$- \frac{1}{2} ,- \frac{3}{2} + \frac{ \sqrt[]{5} }{2},- \frac{5}{2} + \sqrt[]{5} ,- \frac{7}{2} +3 \frac{ \sqrt[]{5} }{2},- \frac{9}{2} +4 \frac{ \sqrt[]{5} }{2} $$ است و خواهیم داشت$$f(x)=- \frac{1}{2} x^{2} +(- \frac{5}{2} + \sqrt[]{5} )x - \frac{9}{2} + 4\frac{ \sqrt[]{5} }{2} $$ و اگر $d=-1- \frac{ \sqrt[]{5} }{2}$با مراحلی شبیه فوق به تابع زیر میرسیم $$f(x)=- \frac{1}{2} x^{2} +(- \frac{5}{2} - \sqrt[]{5} )x - \frac{9}{2} - 4\frac{ \sqrt[]{5} }{2} .$$ حال بررسی حالت$b=0$ در اینصورت باز هم با توجه به واسطه ی حسابی بودن$b$داریم $$ \frac{a+c}{2} =b= \frac{ \alpha + \beta }{2} $$که از این نیز چون$b=0$خواهیم داشت$$a=-c , \alpha =- \beta $$ حال با جایگذاری تساوی فوق در رابطه ی$ \alpha \beta = \frac{c}{a} $خواهیم داشت$$- \alpha ^{2} =-1$$ $$ \Longrightarrow \alpha = \pm 1$$اگر$ \alpha =-1$ چون$ \alpha =- \beta$پس$ \beta =1$.حال از رابطه$2d= \beta - \alpha $خواهیم داشت$ d=1$ که در اینصورت دنباله ی $a, \alpha ,b, \beta ,c$برابر$-2,-1,0,1,2 $میشود و خواهیم داشت$f(x)=-2 x^{2} +2$

و اگر $ \alpha =1$ آنگاه با روشی مشابه داریم $ d=-1$ و به تابع $ f(x)=2 x^{2} -2$ خواهیم رسید.

توسط zh (1,192 امتیاز)
+1
روشتون درسته ولی این تمام این دسته از معادلات رو که باید دارای چنین شرطی باشه رو تعیین نمیکنه.
توسط dr (500 امتیاز)
+1
میشه بگید کدوم قسمت جواب رو اشتباه نوشتم که جوابام با بهترین پاسخ یکی نشد؟
توسط erfanm (13,871 امتیاز)
$4$ جواب داریم که هر چهارتا رو بدست آوردید. روشتون درسته.
آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...