به ازای کدام مقدار m چهار ریشه ی معادله ی $3 x^{4}-2(2m+1) x^{2}+m+1=0$ تشکیل تصاعد حسابی می دهند ؟

Question

به ازای کدام مقدار m چهار ریشه ی معادله ی زیر تشکیل تصاعد حسابی می دهند ؟ $3 x^{4}-2(2m+1) x^{2}+m+1=0$

Answer 1

اگرمعادله درجه چهار دارای ریشه های $\alpha$ و $\beta$ و $\gamma$ و$\theta$ باشد آنگاه معادله آن به صورت $b(x- \alpha )(x- \beta) (x- \gamma )(x- \theta )=0$ است

در این سوال ریشه ها برابر هستند با $a,a+d,a+2d,a+3d$ پس معادله برابر است با

$$b(x-a)(x-a-d)(x-a-2d)(x-a-3d)=0 \Rightarrow b x^{4} -(3a+6d)x^3+(6a^2+18ad +11d^2)x^2-(3a^3+13a^2d+16ad^2+6d^3)x+...$$ با مساوی قرار دادن این دو معادله $m$ بدست می آید.